Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
A = |x - a| + |x - b| + |x - c| + |x - d|,
\]

ta cần xem xét bản chất của hàm giá trị tuyệt đối. Điều này liên quan đến việc tính tổng khoảng cách từ một điểm \( x \) đến các điểm \( a, b, c, d \).

### Phân tích:

1. Biểu thức \( A \) đại diện cho tổng khoảng cách từ \( x \) đến bốn điểm \( a, b, c, d \).
2. Giá trị nhỏ nhất của \( A \) sẽ đạt được khi \( x \) là trung bình của các điểm \( a, b, c, d \) hoặc tại một trong các điểm này.

### Cách tiếp cận:

- Nếu \( x \) nằm giữa các số \( a, b, c, d \), đặc biệt là giá trị trung bình, tổng khoảng cách sẽ nhỏ nhất.
- Căn cứ vào tính chất của hàm giá trị tuyệt đối, giá trị nhỏ nhất của \( A \) sẽ là khi \( x \) bằng một trong các số này và bằng số trung bình (median).

### Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:

\[
A_{\min} = |m - a| + |m - b| + |m - c| + |m - d|,
\]

trong đó \( m \) là số trung bình (hoặc giá trị trung bình) của \( a, b, c, d \).

Tùy thuộc vào vị trí của \( x \), xác định \( x \) sẽ cung cấp tổng giá trị nhỏ nhất.