Để chứng minh tứ giác ABNC là hình bình hành và xác định hình dạng của tứ giác này trong trường hợp tam giác ABC vuông cân tại A, chúng ta làm như sau:

### a. Chứng minh tứ giác ABNC là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác ABNC là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh đối diện (AB và NC, AC và BN) bằng nhau.

1. **Xét các điểm:**
- Gọi M là trung điểm của đoạn BC.
- N thuộc tia đối của tia MA sao cho MN = MA.

2. **Xét tính chất của MN:**
- Vì N nằm trên tia đối của MA và MN = MA, suy ra N là điểm đối xứng của A qua điểm M.

3. **Chứng minh AB = NC:**
- Từ tính chất đối xứng qua M, ta có AM = MN.
- Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác AMA, ta có:
- \(AN = AM + MN = AM + MA = 2AM\).
- Tương tự ta cũng có MA = MB.
- Vậy, AB = AN (do M là trung điểm của BC).

4. **Chứng minh AC = BN:**
- Từ tính chất đối xứng qua M, tiếp tục áp dụng định lý Pythagore thì ta có tương tự như trên.
- Cũng như trên, ta có AC = BN.

5. **Kết luận:**
- Do đó, AB = NC và AC = BN, suy ra tứ giác ABNC là hình bình hành (vì các cạnh đối diện bằng nhau).

### b. Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác ABNC là hình gì? Vì sao?

Khi tam giác ABC vuông cân tại A, điều này có nghĩa là:

1. **Tính chất của tam giác:**
- Ta có AC = AB (vì tam giác ABC vuông cân).

2. **Áp dụng vào tứ giác ABNC:**
- Ta đã chứng minh rằng AB = NC.
- Cũng từ tính chất đối xứng và điểm N được xác định, BC là đường cao hạ từ A nên MB = MC.

3. **Kết luận về hình dạng:**
- Với AC = AB (vì ABC vuông cân tại A) và AB = NC thì sẽ có AC = CN.
- Như vậy, tứ giác ABNC có 4 cạnh bằng nhau (AB = AC = BN = NC) => Tứ giác ABNC là hình thoi.

Kết luận, nếu tam giác ABC vuông cân tại A, thì tứ giác ABNC là hình thoi.