Để tính giá trị của biểu thức \( 8 \frac{2}{7} - \left( 3 \frac{4}{9} + 4 \frac{2}{7} \right) \), chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

**Bước 1: Chuyển đổi các hỗn số thành số dạng phân số**

1. **Chuyển đổi \( 8 \frac{2}{7} \)**
\[
8 \frac{2}{7} = 8 + \frac{2}{7} = \frac{8 \times 7 + 2}{7} = \frac{56 + 2}{7} = \frac{58}{7}
\]

2. **Chuyển đổi \( 3 \frac{4}{9} \)**
\[
3 \frac{4}{9} = 3 + \frac{4}{9} = \frac{3 \times 9 + 4}{9} = \frac{27 + 4}{9} = \frac{31}{9}
\]

3. **Chuyển đổi \( 4 \frac{2}{7} \)**
\[
4 \frac{2}{7} = 4 + \frac{2}{7} = \frac{4 \times 7 + 2}{7} = \frac{28 + 2}{7} = \frac{30}{7}
\]

**Bước 2: Tính tổng trong dấu ngoặc**

Bây giờ, chúng ta sẽ tính \( 3 \frac{4}{9} + 4 \frac{2}{7} \):
\[
3 \frac{4}{9} + 4 \frac{2}{7} = \frac{31}{9} + \frac{30}{7}
\]

Để thực hiện phép cộng này, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung của \( 9 \) và \( 7 \) là \( 63 \).

Chuyển đổi từng phân số:
\[
\frac{31}{9} = \frac{31 \times 7}{9 \times 7} = \frac{217}{63}
\]
\[
\frac{30}{7} = \frac{30 \times 9}{7 \times 9} = \frac{270}{63}
\]

Bây giờ, cộng lại:
\[
\frac{31}{9} + \frac{30}{7} = \frac{217}{63} + \frac{270}{63} = \frac{487}{63}
\]

**Bước 3: Tính giá trị của biểu thức ban đầu**

Bây giờ chúng ta trở lại với biểu thức:
\[
8 \frac{2}{7} - \left( 3 \frac{4}{9} + 4 \frac{2}{7} \right) = \frac{58}{7} - \frac{487}{63}
\]

Chúng ta cũng cần chuyển đổi \( \frac{58}{7} \) sang mẫu số \( 63 \):
\[
\frac{58}{7} = \frac{58 \times 9}{7 \times 9} = \frac{522}{63}
\]

Bây giờ, thực hiện phép trừ:
\[
\frac{522}{63} - \frac{487}{63} = \frac{522 - 487}{63} = \frac{35}{63}
\]

**Bước 4: Rút gọn phân số**

\(\frac{35}{63}\) có thể rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho \(7\):
\[
\frac{35 \div 7}{63 \div 7} = \frac{5}{9}
\]

**Kết quả cuối cùng:**
\[
8 \frac{2}{7} - \left( 3 \frac{4}{9} + 4 \frac{2}{7} \right) = \frac{5}{9}
\]