Dưới đây là cách giải bài toán trong hình ảnh:

### Bài 1:
Cho đường tròn \((O; r)\) và đường kính \(AB\). Qua điểm \(A\) kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với \((O)\). Từ \(Ax\) lấy điểm \(C\) sao cho \(AC > R\). Từ điểm \(C\) kẻ tiếp tuyến \(CM\) với đường tròn \((O)\), \(M\) là tiếp điểm.

1. **CMR: 4 điểm \(A\), \(C\), \(O\), \(M\) cùng thuộc một đường tròn.**
- Từ tính chất của tiếp tuyến, \(CM\) vuông góc với bán kính \(OM\) tại \(M\).
- Tam giác \(OCM\) vuông tại \(M\), suy ra ba điểm \(A\), \(C\), \(O\), \(M\) nằm trên một đường tròn.

2. **\(BM \parallel OC\).**
- Xét các tam giác vuông tại \(M\): \(BM \perp AM\) và \(OC \perp CM\).
- Từ tính chất của các đường vuông góc, có \(BM \parallel OC\).

3. **Gọi \(K\) là giao điểm của \(BC\) với \(O\). Chứng minh rằng \(BC.BK = 4R^2\).**
- Áp dụng định lý tiếp tuyến và đường chéo trong tam giác: \(CM = CA\) và \(BK\) là đường vuông góc tại điểm tiếp xúc \(B\).
- Sử dụng định lý Pythagoras, ta có \(BC.BK = r^2\) cho \(BM = r\).

### Bài 2:
Cho nửa đường tròn \((O; R)\), đường kính \(CD\). Một điểm \(M\) thuộc nửa đường tròn. \(K\) là trung điểm của \(MC\). OK là tiếp tuyến \(C\) tại \(A\). Chứng minh rằng:

1. \(OA \perp MD\).
- Sử dụng định nghĩa đường tiếp tuyến và tính chất của các góc.

2. \(AM\) là tiếp tuyến của \(C\).
- Sử dụng các kim chỉ nam về vị trí của các điểm và tính chất hình học từ đường tròn.

### Bài 3:
Cho đường tròn \((O; R)\), điểm \(A\) có định nghĩa nằm ngoài đường tròn. Vẽ tiếp tuyến \(AB\), \(AC\) với đường tròn \((O)\).

1. **CMR: 4 điểm \(A\), \(O\), \(C\), \(B\) cùng thuộc một đường tròn.**
- Sử dụng tính chất hình học từ các tiếp tuyến và bán kính.

2. **Kẻ đường kính \(CM\), \(OA\) cắt \(BC\ tại \(I\) (giao điểm).**
- Áp dụng phương pháp hình học để chứng minh các điểm nằm trên cùng một đường tròn hoặc thỏa mãn quy tắc.

3. **Tính \(BM\) với biết \(AB = 5cm\), \(BC = 8cm\).**
- Áp dụng định lý Pitago hoặc hệ thức lượng trong tam giác để tìm \(BM\).

4. **Đường thẳng \(OA\) cắt \((O)\) tại \(I\) và \(K\), nằm giữa \(O\) và \(A\).**
- Sử dụng khái niệm tiếp tuyến và các giao điểm trong hình học để xác định vị trí của điểm \(I\) và \(K\).

Đây là hướng dẫn giải các bài toán mà bạn đã đưa ra. Nếu cần giải cụ thể từng bài, bạn có thể yêu cầu thêm!