Để chứng minh rằng quan hệ \( S \) là quan hệ tương đương trên tập hợp \( X \), ta cần chứng minh ba tính chất: phản xạ, đối xứng, và truyền dẫn.

1. **Tính phản xạ**: Mỗi bé trong tập hợp \( X \) có cùng giới tính với chính mình. Do đó, với mọi \( a \in X \), có \( (a, a) \in S \).

2. **Tính đối xứng**: Nếu hai bé \( a \) và \( b \) thuộc tập hợp \( X \) có cùng giới tính, nghĩa là \( (a, b) \in S \), thì \( b \) cũng sẽ có cùng giới tính với \( a \). Do đó, \( (b, a) \in S \).

3. **Tính truyền dẫn**: Giả sử \( a \), \( b \), và \( c \) là ba bé trong tập hợp \( X \) sao cho \( (a, b) \in S \) và \( (b, c) \in S \). Điều này có nghĩa là cả ba bé \( a \), \( b \), và \( c \) đều có cùng giới tính. Vậy \( (a, c) \in S \).

Vì \( S \) thỏa mãn ba tính chất trên, nên \( S \) là quan hệ tương đương trên tập hợp \( X \).