Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ tìm các cặp số thực \((a, b)\) thỏa mãn các điều kiện đã cho ở phần (a), (b) và (c).

### Phần a
Gọi \( a + b = 4 \) và \( a^2 + b^2 = 12 \).

Từ \( a + b = 4 \), ta có:
\[
b = 4 - a.
\]

Thay vào phương trình \( a^2 + b^2 = 12 \):
\[
a^2 + (4 - a)^2 = 12.
\]

Giải phương trình này:
\[
a^2 + (16 - 8a + a^2) = 12 \\
2a^2 - 8a + 16 - 12 = 0 \\
2a^2 - 8a + 4 = 0 \\
a^2 - 4a + 2 = 0.
\]
Tính delta:
\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8.
\]
Vậy các nghiệm của phương trình là:
\[
a = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}.
\]
Khi đó:
\[
b = 4 - a = 2 \mp \sqrt{2}.
\]
Vậy các cặp \((a, b)\) thỏa mãn là:
\[
(2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}) \quad \text{và} \quad (2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2}).
\]

### Phần b
Cho \( a + b = 3 \) và \( a^3 + b^3 = 2 \).

Áp dụng công thức:
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).
\]
Ta có:
\[
a^3 + b^3 = 3(a^2 - ab + b^2) = 2 \quad \Rightarrow \quad a^2 - ab + b^2 = \frac{2}{3}.
\]

Vì \( a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 9 - 2ab \), ta thay vào để có:
\[
9 - 2ab - ab = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad 9 - 3ab = \frac{2}{3}.
\]
Giải phương trình:
\[
27 - 9ab = 2 \quad \Rightarrow \quad 9ab = 25 \quad \Rightarrow \quad ab = \frac{25}{9}.
\]

Giải hệ phương trình:
\[
t^2 - 3t + \frac{25}{9} = 0.
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 3^2 - 4 \cdot \frac{25}{9} = \frac{9}{1} - \frac{100}{9} = \frac{81 - 100}{9} = \frac{-19}{9}.
\]
Vì delta âm nên không có nghiệm thực.

### Phần c
Cho \( a^2 + b^2 = a^3 + b^3 \) và \( ab^4 = 0 \).

Nếu \( ab = 0 \) thì \( a = 0 \) hoặc \( b = 0 \).

1. **Nếu \( a = 0 \)**:
\[
0^2 + b^2 = 0^3 + b^3 \quad \Rightarrow \quad b^2 = b^3 \quad \Rightarrow \quad b(b - 1) = 0.
\]
Vậy \( b = 0 \) hoặc \( b = 1 \).

2. **Nếu \( b = 0 \)**:
Tương tự như trên, ta sẽ có \( a = 0 \) hoặc \( a = 1 \).

Các cặp \((a, b)\) thỏa mãn là:
\[
(0, 0), (1, 0), (0, 1).
\]

### Kết luận
- Phần (a): \((2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2})\) và \((2 - \sqrt{2}, 2 + \sqrt{2})\).
- Phần (b): Không có nghiệm thực.
- Phần (c): \((0, 0), (1, 0), (0, 1)\).