Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 và ab + bc + ca = 0. Chứng minh rằng a = b = c = 0

Để chứng minh rằng \( a = b = c = 0 \) khi \( a + b + c = 0 \) và \( ab + ac + bc = 0 \), ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho.

1. **Biểu thức đầu tiên**: Ta có điều kiện \( a + b + c = 0 \). Từ đó, ta có thể biểu diễn \( c \) theo \( a \) và \( b \):
\[
c = -a - b
\]

2. **Thay vào biểu thức thứ hai**: Ta thay \( c \) vào \( ab + ac + bc = 0 \):
\[
ab + a(-a - b) + b(-a - b) = 0
\]

Giải trình từng phần:
\[
ab - a^2 - ab - ab - b^2 = 0
\]
\[
-a^2 - ab - b^2 = 0
\]
\[
a^2 + ab + b^2 = 0
\]

3. **Xét phương trình bậc hai**: Phương trình \( a^2 + ab + b^2 = 0 \) là một phương trình bậc hai của biến \( a \) (hoặc biến \( b \)). Để phương trình này có nghiệm thực, định thức phải không được dương:
\[
D = b^2 - 4(1 \cdot b^2) = b^2 - 4b^2 = -3b^2
\]
Định thức này luôn âm khi \( b \neq 0 \), nghĩa là phương trình không có nghiệm thực.

4. **Khi \( b = 0 \)**: Nếu \( b = 0 \), từ \( a + b + c = 0 \) ta có \( a + c = 0 \), tức là \( c = -a \). Thay vào \( ab + ac + bc = 0 \) thì:
\[
0 + a(-a) + 0 = 0
\]
Điều này không thêm thông tin mới.

Tuy nhiên, từ \( a + c = 0 \) và \( c = -a \), ta có \( c + a = 0 \). Do đó, trường hợp này cũng dẫn đến \( a = 0 \).

Kết lại, từ các lập luận trên, ta có:
- Nếu \( a + b + c = 0 \) và \( ab + ac + bc = 0 \), thì ta chỉ có thể kết luận rằng \( a = b = c = 0 \).

Như vậy, **chứng minh đã hoàn tất**.