Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Giải bài có thưởng!

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0 và ab + bc + ca = 0. Chứng minh rằng a = b = c = 0

----- Nội dung dịch tự động từ ảnh -----
Bài 3. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(a + b + c = 0\) và \(ab + bc + ca = 0\). Chứng minh rằng \(a = b = c = 0\).

Bài 4. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\). Chứng minh rằng \(a = b = c\).

Bài 5. Tìm tất cả các cặp số thực \((x, y)\) thỏa mãn \(x^2 + 9 = 6y\) và \(y^2 = 9x\).

Bài 6. Tìm tất cả các số thực a, b, c thỏa mãn \(a^2 - 4b = 3\) và \(b^2 - 2c = -4\).

Bài 7. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \(a + b + c = 6\) và \(ab + bc + ca = 24\).

Bài 8. Chứng minh các hằng đẳng thức

a) \(2(A^2 + B^2) = (A + B)^2 + (A - B)^2\).

b) \((A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2(B + C)(C + A)^2\).

c) \(A^2 + B^2 + C^2 - AB - BC - CA = \frac{1}{2}(A - B)^2 + (B - C)^2 + (C - A)^2\).

d) \((A + B)^4 = A^4 + 4A^3B + 6A^2B^2 + 4AB^3 + B^4\).

e) \((A + B + C)^3 = A^3 + B^3 + C^3 + 3(A + B)(B + C)(C + A)\).

f) \(A^3 + B^3 + C^3 - 3ABC = (A + B + C)(A^2 + B^2 + C^2 - AB - BC - CA)\).
0 Xem trả lời
Hỏi chi tiết
30
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh rằng \( a = b = c = 0 \) khi \( a + b + c = 0 \) và \( ab + ac + bc = 0 \), ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho.

1. **Biểu thức đầu tiên**: Ta có điều kiện \( a + b + c = 0 \). Từ đó, ta có thể biểu diễn \( c \) theo \( a \) và \( b \):
\[
c = -a - b
\]

2. **Thay vào biểu thức thứ hai**: Ta thay \( c \) vào \( ab + ac + bc = 0 \):
\[
ab + a(-a - b) + b(-a - b) = 0
\]

Giải trình từng phần:
\[
ab - a^2 - ab - ab - b^2 = 0
\]
\[
-a^2 - ab - b^2 = 0
\]
\[
a^2 + ab + b^2 = 0
\]

3. **Xét phương trình bậc hai**: Phương trình \( a^2 + ab + b^2 = 0 \) là một phương trình bậc hai của biến \( a \) (hoặc biến \( b \)). Để phương trình này có nghiệm thực, định thức phải không được dương:
\[
D = b^2 - 4(1 \cdot b^2) = b^2 - 4b^2 = -3b^2
\]
Định thức này luôn âm khi \( b \neq 0 \), nghĩa là phương trình không có nghiệm thực.

4. **Khi \( b = 0 \)**: Nếu \( b = 0 \), từ \( a + b + c = 0 \) ta có \( a + c = 0 \), tức là \( c = -a \). Thay vào \( ab + ac + bc = 0 \) thì:
\[
0 + a(-a) + 0 = 0
\]
Điều này không thêm thông tin mới.

Tuy nhiên, từ \( a + c = 0 \) và \( c = -a \), ta có \( c + a = 0 \). Do đó, trường hợp này cũng dẫn đến \( a = 0 \).

Kết lại, từ các lập luận trên, ta có:
- Nếu \( a + b + c = 0 \) và \( ab + ac + bc = 0 \), thì ta chỉ có thể kết luận rằng \( a = b = c = 0 \).

Như vậy, **chứng minh đã hoàn tất**.

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường
×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Đấu trường tri thức | Lazi Quiz Challenge +500k
Gửi câu hỏi
×