Để chứng minh rằng nếu tổng ba số nguyên \( a, b, c \) chia hết cho 6 thì tổng các lập phương của chúng \( a^3 + b^3 + c^3 \) cũng chia hết cho 6, ta làm như sau:

Giả sử \( a + b + c \equiv 0 \mod{6} \). Điều này có nghĩa là tổng ba số nguyên này chia hết cho 6. Ta cần chứng minh rằng \( a^3 + b^3 + c^3 \equiv 0 \mod{6} \).

Để làm được điều này, ta sẽ xét trường hợp theo modulo 2 và modulo 3 (bởi vì \( 6 = 2 \times 3 \)).

### Bước 1: Xét modulo 2
Một số nguyên có thể là 0 hoặc 1 (mod 2). Do đó, có bốn trường hợp có thể xảy ra cho \( a, b, c \):
1. \( a \equiv 0, b \equiv 0, c \equiv 0 \mod{2} \rightarrow a^3 \equiv 0, b^3 \equiv 0, c^3 \equiv 0 \mod{2} \)
2. \( a \equiv 0, b \equiv 0, c \equiv 1 \mod{2} \rightarrow a^3 \equiv 0, b^3 \equiv 0, c^3 \equiv 1 \mod{2} \)
3. \( a \equiv 0, b \equiv 1, c \equiv 1 \mod{2} \rightarrow a^3 \equiv 0, b^3 \equiv 1, c^3 \equiv 1 \mod{2} \)
4. Tương tự cho các trường hợp còn lại với sự kết hợp của 0 và 1.

Tổng \( a^3 + b^3 + c^3 \) sẽ là chẵn nếu tổng \( a, b, c \) là số chẵn (mod 2).

### Bước 2: Xét modulo 3
Tương tự như trên, một số nguyên có thể là 0, 1 hoặc 2 (mod 3). Ta cũng có các trường hợp cho \( a, b, c \) lấy các giá trị này:
1. \( a \equiv 0, b \equiv 0, c \equiv 0 \mod{3} \rightarrow a^3 \equiv 0, b^3 \equiv 0, c^3 \equiv 0 \mod{3} \)
2. \( a \equiv 0, b \equiv 1, c \equiv 1 \mod{3} \rightarrow a^3 \equiv 0, b^3 \equiv 1, c^3 \equiv 1 \mod{3} \)
3. \( a \equiv 1, b \equiv 1, c \equiv 1 \mod{3} \rightarrow a^3 \equiv 1, b^3 \equiv 1, c^3 \equiv 1 \mod{3} \)
4. ...

Từ đó, tổng \( a^3 + b^3 + c^3 \) sẽ chia hết cho 3 nếu tổng \( a + b + c \equiv 0 \mod{3} \).

### Kết luận
Vì \( a + b + c \equiv 0 \mod{2} \) và \( a + b + c \equiv 0 \mod{3} \), suy ra \( a + b + c \equiv 0 \mod{6} \) cũng có nghĩa là \( a^3 + b^3 + c^3 \equiv 0 \mod{2} \) và \( \equiv 0 \mod{3} \).

Do đó, \( a^3 + b^3 + c^3 \equiv 0 \mod{6} \).

Vậy chúng ta đã chứng minh rằng nếu tổng ba số nguyên chia hết cho 6 thì tổng các lập phương của chúng cũng chia hết cho 6.