Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh tam giác \( \triangle ABD \) đồng dạng với tam giác \( \triangle ACB \).

1. **Xác định các góc liên quan**:
- Cho \( \angle ABD = \angle ACB \) (theo giả thiết).
- Ta có \( AB \) là cạnh bên của \( \triangle ABD \) và \( AC \) là cạnh bên của \( \triangle ACB \),
- Cạnh \( AC \) được chia thành \( AD \) và \( DC \). Cạnh \( AC \) có thể viết lại là \( AD + DC \).

2. **Sử dụng tiêu chuẩn đồng dạng**:
- Chúng ta có \( AB/AC = AD/AB \) và \( \angle ABD = \angle ACB \).
- Theo quy tắc tam giác đồng dạng, ta sẽ có \( \triangle ABD \sim \triangle ACB \) do hai góc và một cạnh tương ứng.

### b) Tính \( AD \) và \( DC \).

1. Gọi \( AD = x \) và \( DC = y \). Ta có:
\[
x + y = AC = 4 \text{ cm}
\]
Từ phân tích trong phần a, theo tỉ lệ đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AB} \Rightarrow \frac{2}{4} = \frac{x}{2}
\]

Giải phương trình này:
\[
\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 1 \text{ cm}
\]

2. Tính \( DC \):
\[
y = 4 - x = 4 - 1 = 3 \text{ cm}
\]

### c) Chứng minh rằng diện tích \( \triangle ABH \) gấp 4 lần diện tích \( \triangle ADE \).

1. Diện tích của một tam giác có thể được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{đáy} \cdot \text{cao}
\]

2. Gọi \( AH \) là chiều cao của tam giác \( \triangle ABC \), và \( AE \) là chiều cao của tam giác \( \triangle ABD \).

3. Theo tỷ lệ đồng dạng, độ dài chiều cao của \( \triangle ABD \) sẽ gấp \( AD \) theo tỉ lệ. Vậy:
\[
\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} = \frac{AD}{AC} = \frac{1}{4}
\]

4. Do đó, diện tích của \( \triangle ABH \) sẽ gấp 4 lần diện tích của \( \triangle ADE \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được các yếu tố theo yêu cầu của bài toán.