Để giải bài toán đã cho, ta sẽ phân tích từng phần một.

### Bài 1:
Cho ΔABC vuông tại A, có đường cao AH và đường trung tuyến AM.

#### a) Chứng minh AH = DP.
- **Giải:**
- Với ΔABC vuông tại A, AH là đường cao từ A xuống BC.
- Dựa vào định nghĩa và tính chất của đường cao, ta có thể sử dụng tính chất đường vuông góc.
- Các tam giác sẽ có tỉ lệ được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất tam giác đồng dạng hoặc định lý Pitago nếu cần thiết.

#### b) ΔMAC là tam giác gì?
- **Giải:**
- ΔMAC là tam giác vuông tại A. Bởi vì AM là trung tuyến và AH là đường cao, nên áp dụng định lý tam giác vuông.

#### c) Chứng minh ΔAPN là tam giác vuông.
- **Giải:**
- Khi AD // AC và AM là trung tuyến, thì ΔAPN vuông tại A theo định nghĩa đường vuông góc.

---

### Bài 2:
Cho ΔABC vuông tại A có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC.

#### a) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
- **Giải:**
- Với điều kiện AB < AC và M là trung điểm của BC, ta có thể sử dụng tính chất của hình chữ nhật để chứng minh các góc vuông và kích thước cạnh.

#### b) Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE. Chứng minh BEDC là hình bình hành.
- **Giải:**
- Vì B là trung điểm của AE và D là một điểm trên cạnh AC, ta có thể kết hợp các tính chất về trung điểm và đối xứng để chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện sẽ bằng nhau.

#### c) EM cắt BD tại K. Chứng minh EK = 2KM.
- **Giải:**
- Sử dụng tính chất của tỉ lệ đoạn thẳng trong hình để chứng minh rằng EK = 2KM bằng cách sử dụng các tính chất của hình bình hành và công thức tỉ lệ.

---

Bạn có thể đào sâu hơn vào từng bước để tìm ra các công thức và định lý liên quan trong từng trường hợp cụ thể.