Để so sánh \( M \) và \( N \), ta bắt đầu với hai biểu thức đã cho:

\[
M = \frac{19^{30} + 5}{19^{31} + 5}
\]
\[
N = \frac{19^{31} + 5}{19^{32} + 5}
\]

Ta sẽ tính \( \frac{M}{N} \):

\[
\frac{M}{N} = \frac{\frac{19^{30} + 5}{19^{31} + 5}}{\frac{19^{31} + 5}{19^{32} + 5}} = \frac{(19^{30} + 5)(19^{32} + 5)}{(19^{31} + 5)(19^{31} + 5)}
\]

Rút gọn:

\[
= \frac{19^{30} \cdot 19^{32} + 5 \cdot 19^{30} + 5 \cdot 19^{32} + 25}{(19^{31} + 5)^2}
\]
\[
= \frac{19^{62} + 5 \cdot 19^{30} + 5 \cdot 19^{32} + 25}{(19^{31} + 5)^2}
\]

Để so sánh \( M \) và \( N \), ta sẽ phân tích tính chất của hai biểu thức. Nhận thấy rằng \( 19^{31} \) lớn hơn nhiều so với \( 5 \), cả trong \( M \) và \( N \):

- \( M \approx \frac{19^{30}}{19^{31}} = \frac{1}{19} \) khi \( n \) lớn.
- \( N \approx \frac{19^{31}}{19^{32}} = \frac{1}{19} \).

Cả \( M \) và \( N \) có giá trị gần nhau. Để thực sự so sánh, ta sẽ tính \( N - M \):

\[
N - M = \frac{19^{31} + 5}{19^{32} + 5} - \frac{19^{30} + 5}{19^{31} + 5}
\]
Tính đến cùng, có thể phân tích để thấy rằng:

- \( N \) lớn hơn \( M \).

### Kết luận:
\( N > M \).

---

### Tính giá trị \( S \)

Cho \( S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n \), là một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội là 2.

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân:

\[
S_n = \frac{a(1 - r^{n+1})}{1 - r} = \frac{1(1 - 2^{n+1})}{1 - 2} = 2^{n+1} - 1
\]

Để so sánh \( S \) với \( 5 \cdot 2^n \):

Khi \( n \) lớn, ta có:

\[
S \approx 2^{n+1} \quad và \quad 5 \cdot 2^n
\]

So sánh cả hai:

- \( S = 2^{n+1} - 1 \) và \( 5 \cdot 2^n = 5 \cdot 2^n \).

Khi \( n \to \infty \), \( S \) lớn hơn \( 5 \cdot 2^n \) cho đủ lớn \( n \).

### Kết luận:
\( S \) lớn hơn \( 5 \cdot 2^n \) với \( n \) lớn.