Tìm các số nguyên x y sao cho (x^2.y^2+2x^2.y+x^2).(x^2+2x-2) là số chính phương

Để tìm các số nguyên \( x, y \) sao cho biểu thức \((x^2 y^2 + 2x^2 y + x^2)(x^2 + 2x - 2)\) là số chính phương, ta sẽ bắt đầu phân tích từng phần của biểu thức.

Ta có:

\[
A = x^2 y^2 + 2x^2 y + x^2 = x^2(y^2 + 2y + 1) = x^2(y + 1)^2
\]

Như vậy, có thể viết lại \( A \) là:

\[
A = x^2 (y + 1)^2
\]

Bây giờ, ta xét phần thứ hai của biểu thức:

\[
B = x^2 + 2x - 2
\]

Vậy biểu thức toàn bộ trở thành:

\[
(x^2 (y + 1)^2)(x^2 + 2x - 2)
\]

Ta cần điều kiện để toàn bộ biểu thức này là số chính phương, tức là:

\[
x^2 (y + 1)^2 (x^2 + 2x - 2) = k^2
\]

với \( k \) là một số nguyên.

Để \( x^2 (y + 1)^2 (x^2 + 2x - 2) \) là số chính phương, ta có:

1. \( x^2 \) và \( (y + 1)^2 \) đều là số chính phương.
2. \( (x^2 + 2x - 2) \) cần phải là số chính phương, hoặc phải có cách cấu trúc khác để tổng thể là số chính phương.

Do đó, ta sẽ xem xét các giá trị nguyên của \( x \):

- Nếu \( x = 0 \):

\[
B = -2
\]
Không phải là số chính phương.

- Nếu \( x = 1 \):

\[
B = 1^2 + 2 \cdot 1 - 2 = 1 \Rightarrow A \cdot B = 1^2(y + 1)^2 \cdot 1 = (y + 1)^2
\]
Số chính phương cho mọi \( y \).

- Nếu \( x = 2 \):

\[
B = 2^2 + 2 \cdot 2 - 2 = 4 + 4 - 2 = 6
\]
Và \( A \cdot B = 4(y + 1)^2 \cdot 6 = 24(y + 1)^2 \), không phải số chính phương trừ khi \( y + 1 = 0 \).

- Nếu \( x = -1 \):

\[
B = (-1)^2 + 2(-1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3
\]
Không phải là số chính phương.

- Nếu \( x = -2 \):

\[
B = (-2)^2 + 2(-2) - 2 = 4 - 4 - 2 = -2
\]
Không phải là số chính phương.

- Nếu \( x = 3 \):

\[
B = 3^2 + 2 \cdot 3 - 2 = 9 + 6 - 2 = 13
\]
Và \( A \cdot B = 9(y + 1)^2 \cdot 13 = 117(y + 1)^2 \), không phải số chính phương trừ khi \( y + 1 = 0 \).

Từ đó, ta thấy giá trị \( x = 1 \) và bất kỳ giá trị \( y \) nào cho trường hợp \( A \cdot B \) là chính phương.

Cho nên, các cặp số nguyên \( (x, y) \) sao cho biểu thức là số chính phương gồm:

1. \( x = 1, y \) là số nguyên tùy ý.
2. Một vài trường hợp đặc biệt khác mà đã kiểm tra cho thấy không có cặp nào khác tạo ra số chính phương.

Do đó, đáp án cuối cùng:

\((x, y) = (1, n) \) với \( n \) là số nguyên.