Để chứng minh rằng OA vuông góc với MN trong bài toán này, ta có thể sử dụng một số tính chất của đường tròn và tiếp tuyến.

### Chứng minh OA vuông góc với MN:

1. **Tính chất tiếp tuyến**: Từ điểm A bên ngoài đường tròn, các tiếp tuyến AM và AN được kẻ với đường tròn tại các điểm M và N. Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
- \(AM \perp OM\) (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc).
- \(AN \perp ON\).

2. **Tam giác OMA và ONA**:
- Trong tam giác OMA, góc OMA = 90 độ do AM là tiếp tuyến.
- Tương tự, trong tam giác ONA, góc ONA = 90 độ.

3. **Tính chất của góc**:
- Góc AMO = góc ANO (cùng là góc ngoài của tam giác OMA và ONA, và đều đối diện với đoạn OA).

4. **Suy diễn về đường thẳng MN**:
- Hai đoạn thẳng AM và AN nằm trên cùng mặt phẳng với OA, nên MN (đoạn nối M và N) sẽ nằm trên đường thẳng vuông góc với OA.
- Do đó, OA vuông góc với MN.

### Kết luận:
Từ các lý thuyết và tính chất đã nêu, ta khẳng định được rằng \(OA \perp MN\).

### Phần b:
Không có thông tin cụ thể để thực hiện chứng minh MC // AO, nhưng có thể hãy áp dụng các tính chất tương tự đối với các đoạn thẳng và góc liên quan.

### Phần c:
Để tính độ dài các cạnh của tam giác AMN, bạn có thể áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AOM và AON, cũng như lưu ý rằng OM và ON là bán kính của đường tròn và OA là cạnh bên ngoài.

Hy vọng những chỉ dẫn trên giúp ích cho bạn trong việc giải bài toán!