Để tìm số nguyên \( n \) sao cho \( n^3 - 3n^2 - 3n - 1 \) chia hết cho \( n^2 + n + 1 \), chúng ta có thể thực hiện phép chia số polynome:

1. Chia \( n^3 - 3n^2 - 3n - 1 \) cho \( n^2 + n + 1 \).

Kết quả của phép chia sẽ cho chúng ta một biểu thức và phần dư. Nếu phần dư bằng 0, điều đó có nghĩa là \( n^3 - 3n^2 - 3n - 1 \) chia hết cho \( n^2 + n + 1 \).

**Thực hiện phép chia:**

- Lấy \( n^3 - 3n^2 - 3n - 1 \).
- Chia cho \( n^2 + n + 1 \):

Chúng ta sẽ biểu diễn phép chia:

1. \( n^3 / n^2 = n \)

Nhân \( n \) với \( n^2 + n + 1 \) và trừ đi:

\[
n(n^2 + n + 1) = n^3 + n^2 + n
\]

Trừ đi:

\[
(n^3 - 3n^2 - 3n - 1) - (n^3 + n^2 + n) = -4n^2 - 4n - 1
\]

2. Lại chia \( -4n^2 \) cho \( n^2 \):

\[
-4n^2 / n^2 = -4
\]

Nhân \( -4 \) với \( n^2 + n + 1 \) và trừ đi:

\[
-4(n^2 + n + 1) = -4n^2 - 4n - 4
\]

Trừ đi từ phần dư trước:

\[
(-4n^2 - 4n - 1) - (-4n^2 - 4n - 4) = 3
\]

Vậy phần dư của phép chia là 3, tức là:

\[
n^3 - 3n^2 - 3n - 1 \equiv 3 \mod (n^2 + n + 1)
\]

Để \( n^3 - 3n^2 - 3n - 1 \) chia hết cho \( n^2 + n + 1 \), ta cần:

\[
3 \equiv 0 \mod (n^2 + n + 1)
\]

Điều này có nghĩa \( n^2 + n + 1 | 3 \). Các ước của 3 là \( \pm 1, \pm 3 \).

Bây giờ ta có thể giải các phương trình với mỗi ước:

1. \( n^2 + n + 1 = 1 \):
\[
n^2 + n = 0 \implies n(n + 1) = 0 \implies n = 0 \text{ hoặc } n = -1
\]

2. \( n^2 + n + 1 = -1 \):
\[
n^2 + n + 2 = 0 \implies n^2 + n + 2 = 0
\]
Phương trình này không có nghiệm thực.

3. \( n^2 + n + 1 = 3 \):
\[
n^2 + n - 2 = 0 \implies (n - 1)(n + 2) = 0 \implies n = 1 \text{ hoặc } n = -2
\]

4. \( n^2 + n + 1 = -3 \):
\[
n^2 + n + 4 = 0
\]
Phương trình này cũng không có nghiệm thực.

Tổng kết lại, các nghiệm của \( n \) là:

\[
n = 0, -1, 1, -2
\]

Vậy các giá trị nguyên \( n \) mà chúng ta tìm được là \( 0, -1, 1, -2 \).