Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn tâm O vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn tâm O, A; B là tiếp điểm

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta thực hiện theo các bước sau:

### Bước 1: Chứng minh góc AHC = 90 độ

- Gọi O là tâm của đường tròn, A và B là các tiếp điểm tương ứng với các tiếp tuyến MA và MB.

- Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại A và B, nên ta có:
- OA ⊥ MA (tương tự, OB ⊥ MB)

- AC là đường kính của đường tròn, nên góc AOC là một góc vuông (góc giữa bán kính OA và OC).

- Bây giờ, chúng ta cần xem xét tứ giác AHOC:
- Góc AOH = 90 độ (OA ⊥ MA là một góc vuông)
- Góc AOC = 90 độ (AC là đường kính)

- Từ đây, ta có một tứ giác AHOC có hai góc vuông. Do đó, từ tính chất của các tứ giác, góc AHC cũng sẽ là 90 độ:
\[
\angle AHC = 90^\circ
\]

### Bước 2: Chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MCO

- Xét tam giác MCO:
- MC là một đường thẳng cắt O tại H.
- H nằm trên đường thẳng OC và H khác C, nên OH là bán kính của đường tròn.

- Xét đến tam giác MIH và MCO:

1. **Góc MHI**:
- Góc MHI = góc AHC = 90 độ (theo kết quả đã chứng minh ở trên).

2. **Góc MCO**:
- Đồng thời, chúng ta có góc MCO cũng là 90 độ (vì OA ⊥ MA).

3. **Góc MCI**:
- Chúng ta có: MCo = MH (góc cùng ở đỉnh M).

Theo quy tắc góc, ta có:
\[
\angle MIH = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle MCO = 90^\circ
\]

### Kết luận:

Ta có \( \angle MIH = \angle MCO, \angle MHI = \angle MOC = 90^\circ \), và hai tam giác MIH, MCO có cạnh huyền giống nhau \( MC \) làm cho chúng đồng dạng với nhau theo tiêu chí góc-góc (AA).

Vậy ta có:
\[
\triangle MIH \sim \triangle MCO
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.