Để giải bài toán này, ta bắt đầu từ phương trình đã cho:

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) = (a + b + c)^2
\]

Với \( a + b + c = 9 \), thay vào phương trình trên, ta có:

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) = 9^2 = 81
\]

Tiếp theo, rút ra \( a^2 + b^2 + c^2 \):

\[
a^2 + b^2 + c^2 = \frac{81}{3} = 27
\]

Chúng ta đã có hai phương trình:

1. \( a + b + c = 9 \)
2. \( a^2 + b^2 + c^2 = 27 \)

Chúng ta sử dụng công thức:

\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
\]

Thay các giá trị trong công thức này, ta có:

\[
9^2 = 27 + 2(ab + ac + bc)
\]

Tính giá trị bên trái:

\[
81 = 27 + 2(ab + ac + bc)
\]

Giải phương trình này để tìm \( ab + ac + bc \):

\[
81 - 27 = 2(ab + ac + bc) \Rightarrow 54 = 2(ab + ac + bc)
\]
\[
ab + ac + bc = \frac{54}{2} = 27
\]

Bây giờ chúng ta có:

1. \( a + b + c = 9 \)
2. \( ab + ac + bc = 27 \)
3. \( a^2 + b^2 + c^2 = 27 \)

Ta có thể xác định một phương trình bậc ba sử dụng các giá trị trên. Gọi \( x \) là một trong ba số \( a, b, c \), ta có thể viết:

\[
t^3 - (a+b+c)t^2 + (ab+ac+bc)t - abc = 0
\]

Thay vào các hệ số:

\[
t^3 - 9t^2 + 27t - abc = 0
\]

Biết rằng tổng các số là 9 và tích hai số là 27, muốn tìm giá trị của \( abc \), ta cần thêm một thông tin.

Chúng ta có thể giả định một số trị giá để tìm các giá trị của \( a, b, c \). Giả sử \( a = b = c \). Khi đó, từ \( a + b + c = 9 \) ta có \( 3a = 9 \) dẫn đến \( a = 3 \), và tương tự \( b = 3 \) và \( c = 3 \).

Kiểm tra lại:

\[
a + b + c = 3 + 3 + 3 = 9
\]

\[
ab + ac + bc = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 9 + 9 + 9 = 27
\]

\[
a^2 + b^2 + c^2 = 3^2 + 3^2 + 3^2 = 9 + 9 + 9 = 27
\]

Tất cả các điều kiện đều thỏa mãn. Vì vậy, các giá trị của \( a, b, c \) là:

\[
\boxed{(3, 3, 3)}
\]