Để giải bài toán này, chúng ta có thể đặt số sản phẩm theo kế hoạch của xí nghiệp 1 là \( x \) và xí nghiệp 2 là \( y \).

Theo đề bài, chúng ta có hai hệ thức sau:
1. Tổng số sản phẩm theo kế hoạch của hai xí nghiệp là:
\[
x + y = 720
\]

2. Tổng số sản phẩm thực tế hai xí nghiệp đã làm được là 819 sản phẩm, với mức vượt kế hoạch của từng xí nghiệp. Cụ thể, xí nghiệp 1 vượt 15%, tức là thực tế họ đã làm:
\[
x \times 1.15
\]
Và xí nghiệp 2 vượt 12%, tức là thực tế họ đã làm:
\[
y \times 1.12
\]
Vì vậy, tổng số sản phẩm thực tế là:
\[
1.15x + 1.12y = 819
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ có hệ phương trình hai ẩn:
1. \( x + y = 720 \)
2. \( 1.15x + 1.12y = 819 \)

Bước 1: Giải phương trình đầu tiên để biểu diễn \( y \):
\[
y = 720 - x
\]

Bước 2: Thay giá trị của \( y \) vào phương trình thứ hai:
\[
1.15x + 1.12(720 - x) = 819
\]
Phân phối và giải phương trình:
\[
1.15x + 806.4 - 1.12x = 819
\]
\[
0.03x + 806.4 = 819
\]
\[
0.03x = 819 - 806.4
\]
\[
0.03x = 12.6
\]
\[
x = \frac{12.6}{0.03} = 420
\]

Bước 3: Tính \( y \):
\[
y = 720 - x = 720 - 420 = 300
\]

Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của xí nghiệp 1 là 420 và của xí nghiệp 2 là 300.

**Kết luận**:
- Số sản phẩm theo kế hoạch của xí nghiệp 1 là 420 sản phẩm.
- Số sản phẩm theo kế hoạch của xí nghiệp 2 là 300 sản phẩm.