Để chứng minh ABDC là hình bình hành, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh ABDC là hình bình hành

1. **Gọi các điểm:** Giả sử góc A nằm trên trục tung và điểm A là \( A(x_A, y_A) \), điểm B là \( B(x_B, y_B) \), và điểm C là \( C(x_C, y_C) \).
2. **Tính toạ độ trung điểm M:**
\[
M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right)
\]
3. **Tìm toạ độ điểm D:** Với \( MD = MA \) và D nằm trên tia đối của tia AM, ta có thể tính toạ độ điểm D bằng cách nhân vectơ \(\overrightarrow{AM}\) với -2:
\[
\overrightarrow{AM} = M - A = \left( \frac{x_B + x_C - 2x_A}{2}, \frac{y_B + y_C - 2y_A}{2} \right)
\]
Do đó:
\[
D = M + \overrightarrow{AM} = M + \left( -\frac{y_B + y_C - 2y_A}{2}, -\frac{x_B + x_C - 2x_A}{2} \right)
\]
Từ đó, ta có được toạ độ điểm D.
4. **Chứng minh AB // CD và AD // BC:** Ta cần chứng minh rằng:
- Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là bằng nhau.
- Vectơ \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\) cũng bằng nhau.
- Hoặc, có thể dùng phương pháp so sánh các yếu tố chiều dài và góc bằng nhau.

5. **Kết luận:** Nếu \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) và \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\), hoặc nếu độ dài hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và chúng song song, thì ABDC là hình bình hành.

### b) Chứng minh \( HM = \frac{1}{2} ED \)

1. **Kẻ AH vuông góc với BC:** Đoạn AH tạo thành với cạnh BC một tam giác vuông.
2. **Tính toạ độ điểm E:** Theo điều kiện AP = AH = HE (với P là chân vuông). Vậy:
\[
E = A + \overrightarrow{AH}
\]
3. **Sử dụng tam giác:** Trong tam giác vuông AHM, ta có thể tính được chiều dài của độ dài HM và độ dài ED.
4. **Chứng minh:**
- Từ tam giác vuông AHM, suy ra: độ dài HM liên quan đến góc giữa các điểm và sẽ tương quan với chiều dài AH và HE.
- Sử dụng định lý Pythagore và tỷ lệ liên quan để đi đến kết luận rằng \( HM = \frac{1}{2} ED \).

### Vẽ hình
Để thực hiện đầy đủ phần này, bạn sẽ cần vẽ một hình ảnh rõ ràng cho các điểm A, B, C, M, và D, và xác định các đoạn thẳng AH, HE và các mối quan hệ của chúng.

### Tóm tắt
Chúng ta đã chứng minh được ABDC là hình bình hành bằng các mối tương quan giữa các cạnh và đã chỉ ra rằng \( HM = \frac{1}{2} ED \) thông qua hình học tam giác vuông.