Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD, P thuộc cạnh SC (P không trùng với trung điểm của SC)

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học không gian và vectơ.

### a. Chứng minh MN // (ABCD)

- **Điều kiện đầu vào**: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với tâm O. M và N lần lượt là trung điểm của SB và SD. Cần chứng minh MN // (ABCD).

1. Gọi tọa độ của các điểm trong không gian:
- \( A, B, C, D \) nằm trong mặt phẳng Oxy. Ta có:
- \( A(-a, -b, 0) \)
- \( B(a, -b, 0) \)
- \( C(a, b, 0) \)
- \( D(-a, b, 0) \)
- Gọi tọa độ điểm S là \( S(0, 0, h) \).

2. Tính tọa độ của M và N:
- M là trung điểm của SB:
\[
M = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 - b}{2}, \frac{h + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, -\frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]
- N là trung điểm của SD:
\[
N = \left( \frac{0 - a}{2}, \frac{0 + b}{2}, \frac{h + 0}{2} \right) = \left( -\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

3. Tính vector MN:
\[
\vec{MN} = N - M = \left( -\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, \frac{b}{2} + \frac{b}{2}, \frac{h}{2} - \frac{h}{2} \right) = (-a, b, 0)
\]

4. Tính các vector AB và AD (các cạnh của hình bình hành):
- \( \vec{AB} = B - A = \left( a + a, -b + b, 0 \right) = (2a, 0, 0) \)
- \( \vec{AD} = D - A = \left( -a + a, b + b, 0 \right) = (0, 2b, 0) \)

5. Tham số hóa mặt phẳng (ABCD) bằng cách sử dụng hai vector AB, AD. Mặt phẳng này được xác định bởi 2 vector không song song trong cùng một mặt phẳng:
\[
\text{Vector pháp tuyến của (ABCD)} = \vec{n} = (0, 0, 1)
\]
Chứng minh rằng hệ số z của vector MN (đơn vị pháp tuyến) bằng 0, tức là MN nằm trên mặt phẳng Oxy.

Vậy \( MN \parallel (ABCD) \).

### b. Tìm giao điểm Q của SA với mp (MNP)

1. Viết phương trình đường thẳng SA:
\[
S(0, 0, h) \quad A(-a, -b, 0)
\]
Đường thẳng SA có thể viết dưới dạng tham số:
\[
\vec{SA}(t) = S + t(A - S) = (0, 0, h) + t\left( -a, -b, -h \right) = (-at, -bt, h - ht)
\]

2. Viết phương trình mặt phẳng MNP:
- Với M, N và P (giả sử tọa độ P là \( (x_P, y_P, z_P) \)).
- M, N và P tạo thành mặt phẳng, vì vậy ta cần xác định một vector pháp tuyến:
\[
\vec{MP} = P - M
\]
\[
\vec{NP} = P - N
\]

3. Từ đó, vector pháp tuyến trong mặt phẳng MNP có thể được tạo thành bằng:
\[
\vec{n} = \vec{MP} \times \vec{NP}
\]
và sau đó lập phương trình mặt phẳng MNP với độ dọc điểm.

4. Cuối cùng, giải hệ phương trình giữa đường thẳng SA và phương trình mặt phẳng MNP để tìm giao điểm Q.

Để hoàn tất các bước tính toán, bạn cần các tọa độ cụ thể của P để xác định một cách chính xác vị trí của giao điểm Q.