Để chứng minh rằng \(\Delta AMC \cong \Delta BDM\), ta sẽ theo từng bước trong bài toán.

### a) Chứng minh \(\Delta AMC \cong \Delta BDM\)

1. Xét 2 tam giác \(\Delta AMC\) và \(\Delta BDM\).
2. Cả 2 tam giác đều có cạnh chung \(AM\) và \(BM\).
3. Góc \(\angle AMC\) vuông tại \(M\) (do \(Ax\) vuông góc với \(AB\)).
4. Tương tự, góc \(\angle BDM\) cũng vuông tại \(M\) (do \(By\) vuông góc với \(AB\)).
5. Do đó, \(\angle AMC = \angle BDM = 90^\circ\).
6. Cuối cùng, ta có \(AC = BD\) do chúng là các đoạn thẳng cùng độ dài.

Áp dụng định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c):

\[
\Delta AMC \cong \Delta BDM
\]

### b) Dương thẳng \(CD\) cắt \(AB\) tại \(E\)

**Chứng minh rằng \(EC = BD\) và \(ED = AC\)**:

- Vì trong tam giác \(\Delta AMC\) và \(\Delta BDM\ \cong\), ta có độ dài cạnh tương ứng, tức là \(AC = BD\) và \(ED = AM\).

### c) Vẽ \(MH \perp CD\) tại \(H\)

**Chứng minh \(HM = HC = HD\)**:

- \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \(CD\), dẫn đến \(MH \perp CD\).
- Do các tam giác là giống nhau, nên \(HM = HC\) và \(HM = HD\).

### d) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BC\) và \(AD\)

Chúng ta có thể chứng minh \(\Delta AIE \cong \Delta DIE\) bằng cách sử dụng các tam giác vuông tạo ra trước đó và các tương ứng giữa các cạnh và góc.

Cuối cùng, kết luận thực hiện theo định lý tương đương tam giác vuông.

Bằng cách sử dụng các thuộc tính hình học và chứng minh đặc điểm tương ứng, ta đã hoàn thành yêu cầu bài toán.