Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = -x + \left( \frac{1}{x} - 1 \right) \) trên khoảng \( (1, +\infty) \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Xác định hàm số**: Đầu tiên, viết lại hàm số:
\[
y = -x + \frac{1}{x} - 1
\]
Giản lược lại:
\[
y = -x - 1 + \frac{1}{x}
\]

2. **Tính đạo hàm**: Để tìm cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số:
\[
y' = -1 - \frac{1}{x^2}
\]
Vì \( -\frac{1}{x^2} \) luôn âm với \( x > 0 \), nên:
\[
y' < 0 \quad \text{với mọi } x > 0
\]
Điều này có nghĩa là hàm số \( y \) là hàm giảm trên khoảng \( (1, +\infty) \).

3. **Xác định giá trị tại các đầu mút**: Ta sẽ khảo sát giá trị của hàm số tại \( x = 1 \) và \( x \to +\infty \):
- Tại \( x = 1 \):
\[
y(1) = -1 + \left( \frac{1}{1} - 1 \right) = -1 + 0 = -1
\]
- Khi \( x \to +\infty \):
\[
y(x) = -x - 1 + \frac{1}{x} \to -\infty
\]
(bởi vì \( -x \) sẽ chiếm ưu thế hơn \( \frac{1}{x} \) và \( -1 \) khi \( x \) lớn)

4. **Kết luận**: Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \) với giá trị \( y(1) = -1 \) và không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \( (1, +\infty) \) vì \( y \to -\infty \) khi \( x \to +\infty \).

Vậy giá trị lớn nhất là \( -1 \) và không có giá trị nhỏ nhất.