Để giải bài toán này, ta có thể đặt số đó là \( xy \), trong đó \( x \) là chữ số hàng chục và \( y \) là chữ số hàng đơn vị.

1. **Điều kiện 1**: Tổng các chữ số của số đó là 9, tức là:
\[
x + y = 9
\]

2. **Điều kiện 2**: Nếu thêm vào số 63, số thu được sẽ viết theo thứ tự ngược lại. Khi đó, số ban đầu \( xy \) có thể được biểu diễn dưới dạng:
\[
10x + y
\]
và số nghịch đảo sẽ là \( yx \) (tức là \( 10y + x \)). Theo điều kiện này, ta có:
\[
10x + y + 63 = 10y + x
\]

Giải phương trình này:
\[
10x + y + 63 = 10y + x
\]
\[
10x - x + y - 10y + 63 = 0
\]
\[
9x - 9y + 63 = 0
\]
Chia cả hai vế cho 9:
\[
x - y + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x - y = -7 \quad \Rightarrow \quad x = y - 7
\]

3. **Thay thế vào điều kiện 1**:
\[
(y - 7) + y = 9
\]
\[
2y - 7 = 9
\]
\[
2y = 16 \quad \Rightarrow \quad y = 8
\]
Thay \( y \) vào điều kiện 1 để tìm \( x \):
\[
x + 8 = 9 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]

Vậy số cần tìm là \( 18 \).

**Kiểm tra**:
- Tổng các chữ số \( 1 + 8 = 9 \) (đúng).
- Số thu được khi cộng 63 là \( 18 + 63 = 81 \), và số ngược lại là 81 (đúng).

Vậy số đó là **18**.