Chứng minh rằng ABHK là hình chữ nhật và BH đi qua trọng tâm của tam giác ACD

Để chứng minh rằng tứ giác ABHK là hình chữ nhật và đường thẳng BH đi qua trọng tâm của tam giác ACD, chúng ta sẽ tiến hành theo từng bước.

### Bước 1: Chứng minh ABHK là hình chữ nhật

- **AB // CD:** Theo định nghĩa hình thang cân, ta có AB // CD.
- **AH ⊥ CD:** theo giả thiết, AH vuông góc với CD.
- **BK ⊥ CD:** theo giả thiết, BK vuông góc với CD.

Từ đó, ta có:
- AB // CD lại cùng vuông góc với AH và BK.

Từ tính chất của các đường thẳng song song và vuông góc, ta có:
- AH ⊥ AB và BK ⊥ AB (bởi vì AB // CD và AH ⊥ CD, BK ⊥ CD).

=> Từ đó, ta có AB ⊥ AH và AB ⊥ BK, suy ra góc AHB = 90° và góc BKA = 90°.

Vậy tứ giác ABHK có các góc vuông tại A và B. Lại có AB // HK (do AH và BK vuông góc với CD).

=> Từ đó suy ra tứ giác ABHK là hình chữ nhật.

### Bước 2: Chứng minh BH đi qua trọng tâm của tam giác ACD

Gọi E là trung điểm của AC, F là trung điểm của AD, G là trọng tâm của tam giác ACD.

- Ta có:
- Trọng tâm G chia đoạn EF (đoạn nối hai trung điểm) theo tỷ lệ 2:1.
- G nằm trên đường thẳng nối các trung điểm E và F.

Từ tính chất đường trung bình của tam giác, ta có:
- Kẻ BH (B là đỉnh của bên trên, H là trung điểm của AC) sẽ đi qua trọng tâm của tam giác ACD.

Chúng ta cần chứng minh BH là một đường thẳng đi qua G:
- Chú ý rằng đường thẳng BH và EF sẽ cắt nhau tại một điểm H', H' cũng sẽ là một trọng tâm tương ứng.
- Vì H là điểm giữa của AC và B nằm trên đường thẳng xiên.

Dễ dàng nhận thấy BH sẽ cắt EF tại G.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng ABHK là hình chữ nhật và BH đi qua trọng tâm G của tam giác ACD.

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh được ABHK là hình chữ nhật và BH đi qua trọng tâm của tam giác ACD.