Để chứng minh các bất phương trình trong bài này, ta sẽ phân tích từng phần một cách lần lượt.

### a) Bất phương trình:
\[
\left(m^2 + \frac{1}{2}\right)x - 1 \leq 0
\]

**Chứng minh:**
1. Đưa bất phương trình về dạng:
\[
\left(m^2 + \frac{1}{2}\right)x \leq 1
\]
2. Nếu \( m^2 + \frac{1}{2} > 0 \) (điều này luôn đúng vì \( m^2 \geq 0 \)), ta có thể chia cả hai vế cho \( m^2 + \frac{1}{2} \) mà không thay đổi dấu:
\[
x \leq \frac{1}{m^2 + \frac{1}{2}}
\]
Điều này là đúng với mọi giá trị của \( m \).

Vậy bất phương trình là đúng cho mọi giá trị của \( m \).

### b) Bất phương trình:
\[
-(m^2 + m + 2)x \leq m + 2024
\]

**Chứng minh:**
1. Đưa bất phương trình về dạng:
\[
(m^2 + m + 2)x \geq -(m + 2024)
\]
2. Ta cần xét hai trường hợp:

- Nếu \( m^2 + m + 2 > 0 \) (điều này cũng đúng vì \( m^2 + m + 2 \) luôn dương với mọi giá trị của \( m \)), thì ta có thể chia cả hai vế cho \( m^2 + m + 2 \):
\[
x \geq -\frac{m + 2024}{m^2 + m + 2}
\]

- Nếu \( m^2 + m + 2 \leq 0 \), nhưng điều này không thể xảy ra vì đồ thị của phương trình bậc hai này không cắt trục hoành.

Vậy, bất phương trình cũng là đúng cho mọi giá trị của \( m \).

**Kết luận:** Cả hai bất phương trình đều chứng minh được là đúng cho mọi giá trị của \( m \).