Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( F(x) = 3x - 6x^2 \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tìm đạo hàm của hàm số**:
\[
F'(x) = 3 - 12x
\]

2. **Giải phương trình đạo hàm bằng 0** để tìm các điểm cực trị:
\[
3 - 12x = 0 \implies 12x = 3 \implies x = \frac{1}{4}
\]

3. **Xác định loại điểm cực trị** bằng cách tính đạo hàm cấp 2:
\[
F''(x) = -12
\]
Vì \( F''(x) < 0 \) với mọi \( x \), nên hàm số có điểm cực đại tại \( x = \frac{1}{4} \).

4. **Tính giá trị cực đại** tại \( x = \frac{1}{4} \):
\[
F\left(\frac{1}{4}\right) = 3 \cdot \frac{1}{4} - 6 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2
\]
\[
= \frac{3}{4} - 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{4} - \frac{6}{16} = \frac{3}{4} - \frac{3}{8} = \frac{6}{8} - \frac{3}{8} = \frac{3}{8}
\]

Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số \( F(x) = 3x - 6x^2 \) là \( \frac{3}{8} \) tại \( x = \frac{1}{4} \).

### Các giá trị nhỏ nhất
Hàm bậc hai này mở xuống (vì hệ số của \( x^2 \) là âm), do đó nó có giá trị nhỏ nhất khi \( x \to -\infty \) hoặc \( x \to +\infty \), tức là \( F(x) \to -\infty \).

Tóm lại:
- Giá trị lớn nhất của \( F(x) \) là \( \frac{3}{8} \) tại \( x = \frac{1}{4} \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( F(x) \) là \( -\infty \).