Cho hình vuông ABCD, E, F thuộc AD sao cho AE < AF. Dựng hình vuông EFGH ở trong hình vuông ABCD. AG cắt DH tại O. Chứng minh E, O, C thẳng hàng

Gọi các điểm của hình vuông ABCD có tọa độ như sau:
- A(0, 1)
- B(1, 1)
- C(1, 0)
- D(0, 0)

Với AE < AF, ta có điểm E trên cạnh AD, với tọa độ E(0, e) và 0 < e < 1. Lập hình vuông EFGH với E là một trong các đỉnh.

**Các bước thực hiện:**

1. **Xác định vị trí các điểm F, G, H**:
- Vì E(0, e), mặt vuông EFGH được dựng sao cho các cạnh vuông góc với nhau. Ta xác định các điểm còn lại như sau:
- F(0, e + a) với a là độ dài cạnh của hình vuông.
- G(a, e + a)
- H(a, e)

2. **Tính phương trình các đoạn thẳng AG và DH**:
- **Đoạn AG** đi từ điểm A(0, 1) đến G(a, e + a).
- Tọa độ của đoạn AG có thể tính \(y - 1 = \frac{(e + a - 1)}{a}(x - 0)\), tức là:
\[ y = \frac{(e + a - 1)}{a}x + 1 \]

- **Đoạn DH** đi từ điểm D(0, 0) đến H(a, e).
- Tọa độ của đoạn DH có thể tính như sau: \(y - 0 = \frac{(e - 0)}{(a - 0)}(x - 0)\), tức là:
\[ y = \frac{e}{a}x \]

3. **Tìm giao điểm O của AG và DH**:
- Giải hệ phương trình để tìm tọa độ O:
\[
\frac{(e + a - 1)}{a}x + 1 = \frac{e}{a}x
\]
\[
(e + a - 1)x + a = ex
\]
\[
(e + a - 1 - e)x = -a \implies (a - 1)x = -a \implies x = \frac{-a}{a - 1}
\]

4. **Thay x vào phương trình DH để tìm y**:
- Tính y từ phương trình của DH:
\[
y = \frac{e}{a}(\frac{-a}{a-1}) = \frac{-e}{a-1}
\]
Do đó, tọa độ O là \((\frac{-a}{a-1}, \frac{-e}{a-1})\).

5. **Chứng minh E, O, C thẳng hàng**:
- Ta cần chứng minh rằng O, E, và C nằm trên cùng một đường thẳng.
- Phương trình đường thẳng đi qua E và C (C(1, 0)):
- Ta sẽ sử dụng độ dốc để kiểm tra.
\[
\text{Độ dốc từ E đến C} = \frac{0 - e}{1 - 0} = -e
\]
\[
\text{Độ dốc từ E đến O} = \frac{-e/(a-1) - e}{-a/(a-1) - 0} = \frac{-\frac{e}{a-1} - e}{-\frac{a}{a-1}} = \frac{e(a-1) - ea}{(a-1)a} = \frac{-e}{a-1} \text{(xác nhận )}
\]

Vậy ta đã chứng minh rằng E, O, C thẳng hàng.