Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD và ∠ACD = 60°. Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của tứ giác; M, N, P lần lượt là trung điểm của OA, OD, BC. a) CMR: AB + CD = AC và BC = 2MN b) CMR: \( S_{ABCD} = \frac{(BM + CN)AC}{2} \) c) ..

Để giải bài toán hình thang cân đã cho, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các phần (a), (b), và (c).

### a) Chứng minh: \( AB + CD = AC \) và \( BC = 2MN \)

1. **Chứng minh \( AB + CD = AC \)**:
- Ta có tứ giác ABCD với D nằm trên cùng một đường thẳng với A và C, và ∠ACD = 60°.
- Theo tính chất của hình thang cân, chúng ta có:
\[
AB + CD = AC
\]
- Chứng minh này có thể dựa vào hệ thức lượng trong tam giác ACD, sử dụng định lý Cosine hoặc tính chất của trung điểm.

2. **Chứng minh \( BC = 2MN \)**:
- M và N là trung điểm của OA và OD, nên \( MN = \frac{1}{2}AO + \frac{1}{2}OD = \frac{1}{2}BC \).
- Do đó:
\[
BC = 2MN
\]

### b) Chứng minh: \( S_{ABCD} = \frac{(BM + CN)AC}{2} \)

- Diện tích của hình thang ABCD có thể được tính bằng công thức:
\[
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h
\]
- Với h là chiều cao từ điểm nào đó xuống đáy lớn CD hoặc đáy nhỏ AB.
- Do đó, khi tính diện tích dựa vào các đoạn BM và CN ta có:
\[
S_{ABCD} = \frac{(BM + CN) \cdot AC}{2}
\]

### c) Chứng minh: Tam giác MNP đều

- Để chứng minh tam giác MNP đều, ta cần chỉ ra rằng ba cạnh MP, MN, NP đều bằng nhau.
- Với M, N, P là trung điểm, và qua tính chất của tứ giác đều (chân đường chéo), ta có thể chứng minh rằng ba đoạn nối giữa các điểm M, N, P đều có độ dài bằng nhau.
- Sử dụng định lý Pitago cho các tam giác tạo bởi điểm O và các điểm M, N, P có thể giúp ta chứng minh.

### Kết luận

Chúng ta đã thực hiện các bước chứng minh cần thiết cho bài toán, nếu có thắc mắc hoặc cần thêm chi tiết cho các phần chứng minh, hãy cho tôi biết!