Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Sin và một số tính chất của tam giác.

### 1. Đi tìm các đối số của tam giác

Trước hết, chúng ta cần tìm độ dài các cạnh còn lại \( AC \) và \( AB \) của tam giác \( ABC \).

#### Tính góc A:
Góc \( A \) có thể tính được từ tổng các góc trong tam giác:
\[
A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ
\]

#### Sử dụng định lý Sin để tính các cạnh:
Định lý Sin cho biết:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]
Trong đó:
- \( a = BC = 20 \, cm \)
- \( b = AC \) (cạnh đối diện với góc B)
- \( c = AB \) (cạnh đối diện với góc C)

Áp dụng định lý Sin:
\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}
\]

Thay vào:
\[
\frac{20}{\sin 80^\circ} = \frac{AC}{\sin 40^\circ} = \frac{AB}{\sin 60^\circ}
\]

### Tính AC:
\[
AC = \frac{20 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 80^\circ}
\]
Tính giá trị:
- \( \sin 80^\circ \approx 0.9848 \)
- \( \sin 40^\circ \approx 0.6428 \)

Áp dụng:
\[
AC = \frac{20 \cdot 0.6428}{0.9848} \approx 13.04 \, cm
\]

### Tính AB:
\[
AB = \frac{20 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}
\]
Tính giá trị:
- \( \sin 60^\circ \approx 0.8660 \)

Áp dụng:
\[
AB = \frac{20 \cdot 0.8660}{0.9848} \approx 17.56 \, cm
\]

### 2. Tính chiều cao AH
Chiều cao từ đỉnh A hạ xuống cạnh BC là chiều cao AH. Sử dụng định nghĩa của sin trong tam giác:

Với \( AC \):
\[
AH = AC \cdot \sin B = 13.04 \cdot \sin 40^\circ \approx 13.04 \cdot 0.6428 \approx 8.37 \, cm
\]

### Tổng kết:
- \( AC \approx 13.04 \, cm \)
- \( AB \approx 17.56 \, cm \)
- \( AH \approx 8.37 \, cm \)

Vậy là ta đã có kết quả các độ dài cần tìm.