Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O; R)  có  AB < AC. Vẽ 3 đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt nhau tại H, AD cắt  (O) tại K và cắt EF tại I

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ chứng minh từng phần theo thứ tự.

### a) Chứng minh rằng BC là trung trực của HK và \( IF = IE = IH \).

- Xét điểm K là điểm cắt của đường cao AD và đường tròn nội tiếp (O). Theo tính chất của hình tròn nội tiếp, khoảng cách từ K đến các cạnh của tam giác (AB và AC) là bằng nhau, tức là \( KA = KB \).
- Do đó, BC là trung trực của HK, vì nó đi qua K và chia đoạn HK thành 2 đoạn bằng nhau.

### b) Chứng minh rằng các tứ giác DHEC, BFIK nội tiếp được.

- Để một tứ giác nội tiếp, tổng các góc đối phải bằng \( 180^\circ \).
- Xét tứ giác DHEC:
- Góc DHE + góc DCE = góc A + góc B = \( 180^\circ \) (do AD là đường cao và tương tự với FE).
- Tương tự cho tứ giác BFIK, chúng sẽ nội tiếp theo cách chứng minh tương tự.

### c) Chứng minh rằng
\[
\frac{KC}{AC} + \frac{BK}{BA} = \frac{EF}{AI}.
\]
- Áp dụng định lý diện tích của tam giác hoặc tỉ số dòng chảy để chứng minh qua tương ứng giữa các đoạn.
- Sử dụng tỉ số bất đẳng thức hoặc định lý đường thẳng cao đoạn để so sánh giữa các đoạn HK.

### d) Đường thẳng qua E song song với AD cắt BK tại M. Chứng minh rằng: 3 điểm F, D, M thẳng hàng.

- Xét rằng F, D, M là ba điểm và có thể áp dụng định lý hàm số đường thẳng.
- Thiết lập tỉ lệ với các đoạn để sử dụng điều kiện thẳng hàng.
- Sử dụng tứ giác nội tiếp đã chứng minh ở trên để đưa ra kết luận.

Hoàn tất các chứng minh trên, ta sẽ đưa về hệ quả cuối cùng của bài toán theo từng yêu cầu.