Chúng ta sẽ giải bài toán theo từng phần.

### Phần a: Tính các cạnh của tam giác ABC
Tam giác ABC vuông tại A với góc C = 30 độ và cạnh BC = 10 cm.

Đặt:
- AC = b
- AB = a
- BC = c = 10 cm

Vì A là góc vuông, nên chúng ta có:
\[
\sin(C) = \frac{AC}{BC} \Rightarrow \sin(30^\circ) = \frac{b}{10}
\]
Ta biết rằng \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\):
\[
\frac{1}{2} = \frac{b}{10} \Rightarrow b = 5 \text{ cm}
\]

Tương tự, sử dụng định nghĩa của cosin:
\[
\cos(C) = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \cos(30^\circ) = \frac{a}{10}
\]
Ta có \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{10} \Rightarrow a = 5\sqrt{3} \text{ cm} \approx 8.66 \text{ cm}
\]

Vậy kích thước các cạnh của tam giác ABC là:
- AC = 5 cm
- AB = \(5\sqrt{3} \approx 8.66\) cm
- BC = 10 cm

### Phần b: Chứng minh tam giác BAC đồng dạng với tam giác BIC
Ta biết:
- BI = 2BC = 20 cm
- BC = 10 cm

Xét các góc:
- Góc ABC = 60 độ (do góc C = 30 độ và tổng ba góc của tam giác là 180 độ)
- Góc BIC = 180 độ - góc ABC = 120 độ

Hai tam giác BAC và BIC có kiểm tra đồng dạng như sau:
- Angles:
- Góc A = góc A = A
- Góc BAC = góc BIC = 120 độ
- Từ góc C = 30 độ, góc AB = góc IBC = 60 độ => Góc B = 60 độ

Vậy, ta có:
- \(\angle BAC = \angle BIC\)
- \(\angle ABC = \angle BIC\)

Theo tiêu chuẩn góc góc (AA) ta có:
Tam giác BAC đồng dạng với tam giác BIC (BAC ~ BIC).

### Phần c: Chứng minh \(2CA \cdot CM = CB \cdot CI\)
- Gọi M là trung điểm của BI, do đó:
\[
BM = MI = \frac{BI}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ cm}
\]

Ta sẽ sử dụng định lý cosine trên hai tam giác:

1. Tính độ dài CI:
\[
CI = BI - BC = 20 - 10 = 10 \text{ cm}
\]

2. Ta có AC = 5 cm, nên CA = 5 cm, và CM = 10 cm.

Giờ ta có thể tính tích:
\[
2CA \cdot CM = 2 \cdot 5 \cdot 10 = 100
\]
\[
CB \cdot CI = 10 \cdot 10 = 100
\]

Do đó, ta có:
\[
2CA \cdot CM = CB \cdot CI
\]

Chứng minh đã hoàn tất.