Để tính diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều với các mặt bên là tam giác đều có cạnh 4 cm, ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Tính diện tích đáy**:
- Hình chóp có đáy là hình vuông. Gọi cạnh của hình vuông là \( a \).
- Có 4 mặt bên là tam giác đều, mỗi cạnh của tam giác đều là 4 cm. Do đó, ta có thể tìm cạnh đáy \( a \) qua công thức:
\[
a = \sqrt{(4^2) - \left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm}
\]
- Diện tích của hình vuông (đáy):
\[
S_{đáy} = a^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12 \text{ cm}^2
\]

2. **Tính diện tích các mặt bên**:
- Diện tích của một tam giác đều cạnh 4 cm:
\[
S_{tam\ giác} = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]
- Có 4 mặt bên, vì vậy diện tích toàn bộ các mặt bên là:
\[
S_{mặt\ bên} = 4 \cdot S_{tam\ giác} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

3. **Tính diện tích toàn phần**:
- Diện tích toàn phần của hình chóp là tổng diện tích đáy và diện tích các mặt bên:
\[
S_{tổng} = S_{đáy} + S_{mặt\ bên} = 12 + 16\sqrt{3} \text{ cm}^2
\]

**Kết luận**: Diện tích toàn phần của hình chóp là \( 12 + 16\sqrt{3} \) cm².