Cho hình bình hành ABCD, BC = 10 cm, CD = 15 cm. Gọi E là điểm trên cạnh CD sao cho 3DE = 2CE và AE vuông góc CD tại E. Tính độ dài AE, từ đó tính diện tích hình bình hành ABCD

Để giải bài toán này, trước hết ta cần xác định tọa độ của các điểm trong hình bình hành ABCD.

### Tọa độ các điểm:
- Giả sử \( D \) có tọa độ \( (0, 0) \).
- \( C \) có tọa độ \( (15, 0) \) (vì \( CD = 15 \) cm).
- \( B \) có tọa độ \( (15, h) \) và \( A \) có tọa độ \( (0, h) \), trong đó \( h \) là chiều cao của hình bình hành, mà chúng ta sẽ tìm.

### Xác định điểm E:
Điểm \( E \) nằm trên cạnh \( CD \). Theo điều kiện trong bài, \( 3DE = 2CE \), ta đặt \( DE = x \) và \( CE = y \).
- Ta có: \( DE + CE = CD \) → \( x + y = 15 \).
- Theo điều kiện đã cho: \( 3x = 2y \).

Từ \( 3x = 2y \), ta có:
\[ y = \frac{3}{2}x \]

Thay vào phương trình \( x + y = 15 \):
\[
x + \frac{3}{2}x = 15 \\
\frac{5}{2}x = 15 \\
x = 6 \, \text{cm}
\]

Vậy \( DE = 6 \) cm và \( CE = 15 - 6 = 9 \) cm. Tọa độ của điểm \( E \) là \( (6, 0) \).

### Tính độ dài AE:
Do \( AE \) vuông góc với \( CD \), độ dài \( AE \) chính là chiều cao \( h \) của hình bình hành. Ta sẽ dùng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ADE \):
\[
AD^2 = DE^2 + AE^2
\]

Do \( AD = BC = 10 \) cm (vì đối diện trong hình bình hành có độ dài bằng nhau), ta có:
\[
10^2 = 6^2 + AE^2 \\
100 = 36 + AE^2 \\
AE^2 = 100 - 36 = 64 \\
AE = 8 \, \text{cm}
\]

### Tính diện tích hình bình hành ABCD:
Diện tích hình bình hành được tính bằng công thức:
\[
S = \text{đáy} \times \text{chiều cao} = CD \times AE = 15 \times 8 = 120 \, \text{cm}^2.
\]

### Kết luận:
- Độ dài \( AE = 8 \) cm.
- Diện tích hình bình hành \( ABCD = 120 \) cm².