Cho tam giác ABC nhọn, điểm O nằm trong tam giác. Gọi D; E là hình chiếu của O lên AB; AC. Trên các tia OD; OE lần lượt lấy M; N sao cho OM = AB; ON = AC. Gọi F là trung điểm MN

Để chứng minh \( OF \) vuông góc với \( BC \), ta sẽ xem xét các yếu tố hình học trong tam giác \( ABC \) và các điểm đã cho.

1. **Hình chiếu và đoạn hình chiếu**:
- Gọi \( D \) là hình chiếu của \( O \) lên \( AB \) và \( E \) là hình chiếu của \( O \) lên \( AC \). Vì vậy, \( OD \perp AB \) và \( OE \perp AC \).

2. **Xây dựng các điểm \( M \) và \( N \)**:
- Theo đề bài, ta có \( OM = AB \) và \( ON = AC \). Từ đây, suy ra các đoạn thẳng \( OM \) và \( ON \) có độ dài bằng với các cạnh của tam giác \( ABC \).

3. **Xác định điểm \( F \)**:
- Gọi \( F \) là trung điểm của đoạn \( MN \). Vì \( M \) và \( N \) nằm trên các tia \( OD \) và \( OE \) lần lượt, điểm \( F \) sẽ nằm trên đường thẳng nối \( M \) và \( N \).

4. **Tính chất của tam giác \( MNO \)**:
- Vì \( OM = AB \) và \( ON = AC \), tam giác \( MNO \) với độ lớn của các đoạn thẳng này sẽ có các đặc điểm liên quan đến ba cạnh của tam giác \( ABC \).

5. **Sử dụng tam giác dạng tì ẩn (twin triangle)**:
- Ta có thể sử dụng hình chiếu vuông góc và định lý sin hoặc cos để tìm ra mối quan hệ giữa các đường thẳng trong tam giác \( ABC \) và hướng đi của các đoạn thẳng \( OF \).

6. **Kết hợp tất cả các điều đã chứng minh**:
- Ta cần chứng minh rằng \( OF \) vuông góc với \( BC \). Từ tính chất vuông góc của hình chiếu, và các hình chiếu \( O \) lên \( D \) và \( E \), ta kết luận rằng \( OF \) sẽ vuông góc với cạnh \( BC \) bằng cách sử dụng định lý Pitago hoặc tính toán chiều dài các đoạn thẳng.

Do vậy, thông qua các tính chất hình học đã chứng minh và mối quan hệ của các đường thẳng trong tam giác, ta có thể kết luận rằng \( OF \) vuông góc với \( BC \).