Để giải bài toán này, ta sẽ bước qua từng yêu cầu một cách chi tiết.

### a) Tính số đo BDC và BEC.

Ta biết rằng O là tâm của đường tròn có đường kính BC, do đó:

- \(\angle BOC = 180^\circ\)

### Số đo \(\angle BDC\):
Theo tính chất của góc nội tiếp, ta có:
\[
\angle BDC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ
\]

### Số đo \(\angle BEC\):
Tương tự, ta cũng có từ góc BEC:
\[
\angle BEC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ
\]

Vậy:
- \(\angle BDC = 90^\circ\)
- \(\angle BEC = 90^\circ\)

### b) Chứng minh: Bốn điểm A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn.

Ta xét tứ giác ADHE. Ta đã biết rằng:
- \(\angle BDC = 90^\circ\) (điểm D thuộc BC)
- \(\angle BEC = 90^\circ\) (điểm E thuộc BC)

Vì D và E là các điểm của đường tròn đường kính BC, do đó \(\angle ADE + \angle AHE = 180^\circ\) (góc đối tiếp trong tứ giác nội tiếp).

Vì vậy, tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp, tức là bốn điểm A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn. Tâm I của đường tròn này là giao điểm của các đường kính AO, DO, EO.

### c) Gọi M là trung điểm của HC. Chứng minh: IM ⊥ OM.

Xét tam giác HBC, ta nên xem xét các điểm tồn tại liên quan đến trung điểm M. Vì K là giao điểm AH và BC, M là trung điểm của HC, nên ta cần chứng minh rằng đường thẳng IM là vuông góc với OM.

1. Ta có \(\angle BDC = 90^\circ\) và \(\angle BEC = 90^\circ\).
2. Từ H tới M, một đường thẳng vuông góc tại H với BC. Bởi vậy, IM vuông góc với BC.

Do đó, nếu ta xem M là trung điểm của HC, IM sẽ vuông góc với OM vì IM là đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh BC.

### d) Chứng minh: tiếp tuyến tại D và E của đường tròn (O) cắt nhau tại I.

Điểm I là tâm của đường tròn đi qua A, D, H, E. Tiếp tuyến tại điểm D sẽ vuông góc với OD. Tương tự, tiếp tuyến tại điểm E sẽ vuông góc với OE.

Ở đây ta có:
- \(\triangle ODA\) và \(\triangle OEA\) đều có \(\angle OD = 90^\circ\) và \(\angle OE = 90^\circ\).

Bởi vì O là tâm của đường tròn, và D, E thuộc trên đường tròn với các tiếp tuyến, nên chúng sẽ cắt nhau tại I.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng các yêu cầu của bài toán đã được hoàn thành.