Để tính biểu thức \( \frac{4}{3} + \frac{9}{8} + \frac{16}{15} + \frac{25}{24} + \ldots + \frac{400}{399} \), ta có thể nhận thấy rằng các mẫu số và tử số có thể viết theo dạng:

- Tử số: \( n^2 \) với \( n = 2, 3, 4, \ldots, 20 \) (khi \( n = 20 \) thì \( n^2 = 400 \)).
- Mẫu số: \( n^2 - 1 = (n-1)(n+1) \).

Do đó, các phần tử của dãy này có dạng:

\[
\frac{n^2}{n^2 - 1} = \frac{n^2}{(n-1)(n+1)}
\]

Ta có thể phân tích thành tổng hai phân số:

\[
\frac{n^2}{(n-1)(n+1)} = \frac{A}{n-1} + \frac{B}{n+1}
\]

Để tìm A và B, ta có:

\[
n^2 = A(n+1) + B(n-1)
\]

Mở rộng ra:

\[
n^2 = An + A + Bn - B
\]

Sắp xếp lại theo các hệ số:

\[
n^2 = (A+B)n + (A-B)
\]

Ta có hệ phương trình:

1. \( A + B = 1 \)
2. \( A - B = 0 \)

Giải hệ phương trình này, ta có:

- Từ \( A - B = 0 \) suy ra \( A = B \).
- Thay vào phương trình 1: \( 2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2} \) và \( B = \frac{1}{2} \).

Như vậy:

\[
\frac{n^2}{(n-1)(n+1)} = \frac{1/2}{n-1} + \frac{1/2}{n+1}
\]

Do đó, ta có:

\[
\frac{n^2}{(n-1)(n+1)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1}\right)
\]

Bây giờ, ta thay vào tổng của dãy trên:

\[
\sum_{n=2}^{20} \frac{4}{3} + \frac{9}{8} + \ldots + \frac{400}{399} = \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{20} \left( \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} \right)
\]

Phân tích từng phần trong tổng:

\[
\sum_{n=2}^{20} \frac{1}{n-1} = \sum_{k=1}^{19} \frac{1}{k}
\]

Và:

\[
\sum_{n=2}^{20} \frac{1}{n+1} = \sum_{k=3}^{21} \frac{1}{k}
\]

Do đó:

\[
\sum_{n=2}^{20} \left( \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} \right) = \sum_{k=1}^{19} \frac{1}{k} + \sum_{k=3}^{21} \frac{1}{k}
\]

Chú ý rằng phần tử \( \frac{1}{2} \) sẽ được thay vào:

Tổng sẽ trở thành:

\[
\frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{19} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{21} \right)
\]

Kết quả cuối cùng của tổng này sẽ dẫn tới một tổng số cụ thể. Tuy nhiên, hãy dùng các phần mềm tính toán cho tổng này hoặc sử dụng công thức tổng hợp về số hạng tổng để có kết quả chính xác hơn cho tổng rồi chia cho 2.

Tuy nhiên, ta có thể tìm số hạng này theo cách truyền thống, hoặc sử dụng phần mềm để tính \( H_{21} - H_{2} \) (với \( H_n \) là số hạng điều hòa).

Mong rằng phương pháp này giúp bạn tìm ra được giá trị cho tổng tốt hơn!