Để tính độ dài đoạn thẳng AH và AC trong tam giác ABC, bạn có thể sử dụng định lý sin và một số tính toán cơ bản từ góc và cạnh.

**Bước 1: Tính góc A**
Góc A có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng tổng ba góc trong tam giác:

\[
A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 40^\circ - 58^\circ = 82^\circ
\]

**Bước 2: Áp dụng định lý sin**
Theo định lý sin, tỉ lệ giữa độ dài cạnh và sin của góc đối diện là hằng số:

\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}
\]

Áp dụng vào tam giác ABC:

\[
\frac{7}{\sin 58^\circ} = \frac{AC}{\sin 40^\circ}
\]

Từ đó, bạn có thể tính AC:

\[
AC = \frac{7 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 58^\circ}
\]

Để tính AH, trước hết bạn cần biết chiều cao AH của tam giác. Có thể sử dụng công thức tính diện tích của tam giác:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin C
\]

Sau đó, tính diện tích S. Bạn cũng có thể sử dụng chiều cao:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH
\]

Từ đó bạn có thể tính AH sau khi bạn xác định BC.

**Bước 3: Tính các giá trị**
- Tính sin của các góc bằng máy tính.
- Thay vào công thức để tìm AC và AH.

Giá trị cụ thể sẽ phụ thuộc vào các giá trị hàm sin tương ứng. Bạn có thể làm phép tính để đưa ra kết quả chính xác.