Để tìm giá trị của \( x \) thỏa mãn các bất phương trình trong hai trường hợp bạn đã đưa ra, chúng ta sẽ giải từng trường hợp một.

### Trường hợp 1:
- Bạn có bất phương trình:
\[
- \frac{1}{2} < \frac{x}{2} \leq 0
\]
- Để giải bất phương trình này, chúng ta nhân tất cả các phần với 2 (vì 2 là số dương, nên không thay đổi dấu bất phương trình):
\[
-1 < x \leq 0
\]

- Như vậy, \( x \) có thể nhận các giá trị nguyên (x ∈ Z) là:
\[
x = -1, 0
\]

Tuy nhiên, vì \( x \) không được bằng 0 trong khoảng mở nên kết luận cuối cùng là:
\[
x = -1
\]

### Trường hợp 2:
- Bạn có bất phương trình:
\[
\frac{1}{5} < \frac{x}{4} < \frac{1}{2}
\]

- Đầu tiên, giải bất phương trình bên trái:
\[
\frac{1}{5} < \frac{x}{4}
\]
- Nhân tất cả các phần với 4:
\[
\frac{4}{5} < x
\]

- Tiếp theo, giải bất phương trình bên phải:
\[
\frac{x}{4} < \frac{1}{2}
\]
- Nhân tất cả các phần với 4:
\[
x < 2
\]

- Kết hợp lại, ta có:
\[
\frac{4}{5} < x < 2
\]

- Bởi vì \( x \) là số nguyên (x ∈ Z), giá trị của \( x \) thỏa mãn bất phương trình này là:
\[
x = 1
\]

### Kết luận:
- Kết quả cho bài toán của bạn là:
1. Trường hợp 1: \( x = -1 \)
2. Trường hợp 2: \( x = 1 \)