Để chứng minh \( M \) là trung điểm của \( BC \) trong tam giác \( ABC \) với \( AB = AC \) và phân giác của góc \( BAC \) cắt \( BC \) tại \( M \), ta có thể sử dụng định lý phân giác:

1. **Cho tam giác \( ABC \)** với \( AB = AC \). Điều này có nghĩa là tam giác này là tam giác cân.

2. **Phân giác \( AM \)** của góc \( BAC \) sẽ chia cạnh đối diện \( BC \) thành hai đoạn \( BM \) và \( MC \) theo tỉ lệ của hai cạnh kề \( AB \) và \( AC \). Theo định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC}
\]

Vì \( AB = AC \), ta có:

\[
\frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AB} = 1
\]

Điều này có nghĩa là \( BM = MC \), tức là \( M \) là trung điểm của \( BC \).

Vậy \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh hoàn tất.