Để giải bài toán về tam giác vuông \( ABC \) với \( AB = 15 \) cm và \( BC = 25 \) cm, ta thực hiện các bước sau:

### a) Tính \( AC \) và \( AH \)

1. **Tính \( AC \)**:
Sử dụng định lý Pythagore, trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \):

\[
AC^2 = BC^2 - AB^2
\]
\[
AC^2 = 25^2 - 15^2 = 625 - 225 = 400
\]
\[
AC = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]

2. **Tính \( AH \)** (đường cao):

Sử dụng công thức tính diện tích:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH
\]

Diện tích \( S \) cũng có thể tính như sau:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \text{ cm}^2
\]

Và theo công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH
\]
\[
150 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot AH
\]
\[
150 = 12.5 \cdot AH
\]
\[
AH = \frac{150}{12.5} = 12 \text{ cm}
\]

### b) Kẻ \( HE \) vuông góc với \( AB \)

1. **Chứng minh \( AE \cdot AB = AC^2 - HC^2 \)**:

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AH^2 = AE \cdot AB
\]

Với \( AH = 12 \text{ cm} \):

\[
12^2 = AE \cdot 15
\]
\[
144 = 15 \cdot AE
\]
\[
AE = \frac{144}{15} = 9.6 \text{ cm}
\]

**Giả sử \( HC = x \)**:

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( AHC \):

\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]

Giải thích và sắp xếp:

\[
20^2 = 12^2 + x^2
\]
\[
400 = 144 + x^2
\]
\[
x^2 = 400 - 144 = 256
\]
\[
HC = \sqrt{256} = 16 \text{ cm}
\]

Cuối cùng, gắn kết lại:

\[
AE \cdot AB = AC^2 - HC^2
\]
\[
9.6 \cdot 15 = 400 - 256
\]
\[
144 = 144
\]

Vì vậy, cả hai phần đã được chứng minh.