Để chứng minh rằng \( AM \parallel CE \), ta sẽ sử dụng các định lý về các đoạn thẳng song song trong tam giác.

Trong tam giác \( ABC \) với \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của cạnh \( BC \) và cạnh \( AC \), ta có:

1. **Tính chất của trung điểm**: Do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( N \) là trung điểm của \( AC \), nên ta có:
\[
BM = MC \quad \text{và} \quad AN = NC
\]

2. **Đường thẳng song song**: Ta đã cho đường thẳng \( AE \) đi qua \( A \) song song với \( BC \).

3. **Chứng minh về các tỷ lệ**: Từ tính chất của đoạn thẳng song song, ta có tỷ lệ giữa các đoạn:
\[
\frac{AN}{NC} = 1 \quad \text{và} \quad \frac{BM}{MC} = 1
\]

4. **Sử dụng định lý Thales**: Vì \( AE \parallel BC \), theo định lý Thales, ở trong tam giác \( ANC \), ta có:
\[
\frac{AM}{ME} = \frac{AN}{NC}
\]
và vì \( AN = NC \) (do \( N \) là trung điểm của \( AC \)), nên:
\[
\frac{AM}{ME} = 1 \quad \Rightarrow \quad AM = ME
\]

5. **Vì vậy**, suy ra \( AM \) chia đoạn \( AE \) theo tỷ lệ bằng nhau, và theo định lý Thales thì:
\[
AM \parallel CE \quad (vì \text{cùng với } AE \parallel BC)
\]

Vậy ta có kết luận:
\[
AM \parallel CE
\]
Chứng minh đã hoàn tất.