Để phân tích biểu thức \( a^3 + 4a^2 + 4a + 3a^3 + 4a^2 + 4a + 3 \), ta sẽ kết hợp các hạng tử giống nhau lại với nhau.

Đầu tiên, nhóm các hạng tử lại:

\[
(a^3 + 3a^3) + (4a^2 + 4a^2) + (4a + 4a) + 3
\]

Tính toán từng nhóm:

1. Hạng tử \( a^3 + 3a^3 = 4a^3 \)
2. Hạng tử \( 4a^2 + 4a^2 = 8a^2 \)
3. Hạng tử \( 4a + 4a = 8a \)

Vì thế, biểu thức trở thành:

\[
4a^3 + 8a^2 + 8a + 3
\]

Bây giờ, ta sẽ tìm cách yếu đi các hạng tử. Trong trường hợp này, ta có thể sắp xếp lại như sau:

\[
4a^3 + 8a^2 + 8a + 3 = 4(a^3 + 2a^2 + 2a) + 3
\]

Tiếp tục, chúng ta sẽ tìm cách phân tích \( a^3 + 2a^2 + 2a \).

Tuy nhiên, \( a^3 + 2a^2 + 2a \) không thể phân tích trực tiếp nữa. Thay vào đó, ta có thể kiểm tra nghiệm của đa thức bằng cách xét các giá trị khác nhau cho \( a \).

Chúng ta sẽ tính giá trị để tìm ra nghiệm cho \( a^3 + 2a^2 + 2a = 0 \). Để đơn giản, ta hãy sử dụng nghiệm thử.

Ví dụ, nếu \( a = -1 \):

\[
(-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) = -1 + 2 - 2 = -1 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]

Với \( a = 0 \):

\[
0^3 + 2(0)^2 + 2(0) = 0 \quad \text{(là nghiệm)}
\]

Ta có thể khai thác thêm các nghiệm khác, nhưng trong trường hợp này, ta có thể đã có đủ cấu trúc. Tuy nhiên, để tiếp tục phân tích biểu thức gốc, ta sẽ sử dụng một công thức tổng quát.

Thay vào đó, ta có thể phân tích toàn bộ biểu thức bằng cách thấy rằng nó có thể là tích của một số hạng, tuy nhiên dựa trên sự đơn giản, ta sẽ dừng tại đây.

Cuối cùng, biểu thức đã tổng hợp lại là:

\[
4a^3 + 8a^2 + 8a + 3
\]

Ta cũng có thể đưa ra rằng biểu thức không có nghiệm đơn giản xác định mà cách phân tích ở trên đã mang tính toàn bộ cho biểu thức nghiệm được.