Để tìm các giá trị của \( x \) để biểu thức \( P = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) \) có giá trị nhỏ nhất, ta cần phân tích và tìm giá trị cực tiểu của \( P \).

Bước 1: Xác định các điểm tới hạn của hàm số.
Hàm số \( P \) là tích của bốn biểu thức đơn giản, do đó ta có thể tìm đạo hàm của \( P \) và giải phương trình \( P' = 0 \).

Bước 2: Tính đạo hàm:
\[
P(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
\]
Ta có thể sử dụng quy tắc đạo hàm của tích hoặc mở rộng biểu thức ra và tính đạo hàm. Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát:

Bước 3: Xác định các điểm cực trị:
Ta có thể tính giá trị của \( P \) tại các điểm cực trị giữa các nghiệm.

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất:
Sau khi tìm được các điểm, tính \( P \) tại các điểm đó để xác định giá trị nhỏ nhất.

Cuối cùng, để giải nhanh, ta cũng có thể khảo sát giá trị của \( P \) tại các điểm cụ thể:

- Tại \( x = -2 \): \( P(-2) = (-2 - 1)(-2 + 2)(-2 + 3)(-2 + 6) = (-3)(0)(1)(4) = 0 \).
- Tại \( x = -3 \): \( P(-3) = (-3 - 1)(-3 + 2)(-3 + 3)(-3 + 6) = (-4)(-1)(0)(3) = 0 \).
- Tại \( x = 0 \): \( P(0) = (-1)(2)(3)(6) = -36 \).

Qua khảo sát nhanh, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( -36 \) và giá trị này đạt được tại \( x = 0 \).

Vậy, các giá trị của \( x \) để \( P \) có giá trị nhỏ nhất là \( x = 0 \), và giá trị nhỏ nhất đó là \( -36 \).