Để tìm giá trị của \( m \) sao cho \( A \cap B \cap C \neq \emptyset \), trước tiên ta sẽ xác định các đoạn (tập hợp) mà A, B, C biểu diễn.

1. **Tập hợp A:**
\[
A = (-3, -1) \cup (1, 2)
\]
Tập hợp A bao gồm tất cả các giá trị trong khoảng \((-3, -1)\) và \((1, 2)\).

2. **Tập hợp B:**
\[
B = (m, +\infty)
\]
Tập hợp B bao gồm tất cả các giá trị lớn hơn \( m \).

3. **Tập hợp C:**
\[
C = (-\infty, 2m)
\]
Tập hợp C bao gồm tất cả các giá trị nhỏ hơn \( 2m \).

Chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho \( A \cap B \cap C \) không rỗng.

### Phân tích giao nhau:

- **Đoạn đầu tiên của A:** \((-3, -1)\)

Ta muốn tìm giá trị \( m \) sao cho \( m < -1 \) (B phải chứa phần này) và \( 2m > -3 \) (C phải chứa phần này):
- Từ \( m < -1 \) ta có \( m < -1 \).
- Từ \( 2m > -3 \) ta có \( m > -\frac{3}{2} \).

Điều này cho ra khoảng giá trị cho \( m \):
\[
-\frac{3}{2} < m < -1
\]

- **Đoạn thứ hai của A:** \((1, 2)\)

Ta muốn tìm giá trị \( m \) sao cho \( m < 2 \) (B phải chứa phần này) và \( 2m > 1 \) (C phải chứa phần này):
- Từ \( m < 2 \) ta có \( m < 2 \).
- Từ \( 2m > 1 \) ta có \( m > \frac{1}{2} \).

Điều này cho ra khoảng giá trị cho \( m \):
\[
\frac{1}{2} < m < 2
\]

### Kết hợp các điều kiện:

Từ hai đoạn phân tích trên, ta có:
1. \( -\frac{3}{2} < m < -1 \) (cho đoạn \((-3, -1)\))
2. \( \frac{1}{2} < m < 2 \) (cho đoạn \((1, 2)\))

Tuy nhiên, không có giá trị \( m \) nào cùng thỏa mãn hai điều kiện này vì nó không có giao điểm.

### Kết luận:

Không có giá trị nào cho \( m \) để \( A \cap B \cap C \) khác rỗng vì phạm vi của \( m \) từ hai đoạn không giao nhau.