Để chia 180 người thành các nhóm có từ 5 đến 12 người, trước tiên ta cần xác định số nhóm và số người trong mỗi nhóm sao cho tổng số người là 180.

**Bước 1: Tính số nhóm và số người trong nhóm**

Giả sử có \( n \) nhóm và mỗi nhóm có \( k \) người, với \( k \) từ 5 đến 12. Ta có điều kiện:

\[
n \times k = 180
\]

Điều này có nghĩa là \( k \) phải là ước số của 180. Ta sẽ tìm các ước số của 180 trong khoảng từ 5 đến 12.

**Bước 2: Tìm các ước số của 180**

Các ước số của 180 là:

\[
1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
\]

Trong khoảng từ 5 đến 12, ta có các ước số là:

- 5
- 6
- 9
- 10
- 12

**Bước 3: Tính số nhóm cho từng \( k \)**

1. **Nếu \( k = 5 \)**:
\[
n = \frac{180}{5} = 36
\]

2. **Nếu \( k = 6 \)**:
\[
n = \frac{180}{6} = 30
\]

3. **Nếu \( k = 9 \)**:
\[
n = \frac{180}{9} = 20
\]

4. **Nếu \( k = 10 \)**:
\[
n = \frac{180}{10} = 18
\]

5. **Nếu \( k = 12 \)**:
\[
n = \frac{180}{12} = 15
\]

**Bước 4: Cách chia**

Số cách chia 180 người thành \( n \) nhóm có \( k \) người mỗi nhóm được tính bằng cách lấy số cách chia theo nhóm \( n \):

\[
\frac{180!}{(k!)^n \cdot n!}
\]

Dưới đây là số cách chia cho từng \( k \):

1. **\( k = 5 \)**, \( n = 36 \):
\[
\frac{180!}{(5!)^{36} \cdot 36!}
\]

2. **\( k = 6 \)**, \( n = 30 \):
\[
\frac{180!}{(6!)^{30} \cdot 30!}
\]

3. **\( k = 9 \)**, \( n = 20 \):
\[
\frac{180!}{(9!)^{20} \cdot 20!}
\]

4. **\( k = 10 \)**, \( n = 18 \):
\[
\frac{180!}{(10!)^{18} \cdot 18!}
\]

5. **\( k = 12 \)**, \( n = 15 \):
\[
\frac{180!}{(12!)^{15} \cdot 15!}
\]

**Bước 5: Tổng số cách chia**

Cuối cùng, để tìm tổng số cách chia, ta sẽ cộng tất cả các trường hợp lại:

\[
Tổng = \frac{180!}{(5!)^{36} \cdot 36!} + \frac{180!}{(6!)^{30} \cdot 30!} + \frac{180!}{(9!)^{20} \cdot 20!} + \frac{180!}{(10!)^{18} \cdot 18!} + \frac{180!}{(12!)^{15} \cdot 15!}
\]

Quá trình này có thể cần tính toán cụ thể để có số lượng cách chia chính xác, nhưng quá trình tổng quát đã được trình bày ở trên.