Để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất, điều kiện cần thiết là định thức của ma trận hệ số phải khác 0.

Hệ phương trình có dạng:

\[
\begin{cases}
(m+1)x + (m-1)y = 3 \\
2x - 3y = -1
\end{cases}
\]

Ma trận hệ số là:

\[
A = \begin{pmatrix}
m+1 & m-1 \\
2 & -3
\end{pmatrix}
\]

Xét định thức của ma trận \( A \):

\[
\Delta = (m+1)(-3) - (m-1)(2)
\]

Tính định thức:

\[
\Delta = -3m - 3 - 2m + 2 = -5m - 1
\]

Để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất, ta yêu cầu:

\[
-5m - 1 \neq 0
\]

Giải bất phương trình này:

\[
-5m \neq 1 \implies m \neq -\frac{1}{5}
\]

Vậy giá trị \( m \) cần tìm để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là:

\[
m \neq -\frac{1}{5}
\]