Cho phương trình: x^4 + mx^2 + m = 0 tìm để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thoả mãn: x1^4 + x2^4 + x3^4 + x4^4 = 30

Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu với phương trình \( x^4 + mx^2 + m = 0 \).

Ta có thể đặt \( y = x^2 \), từ đó phương trình trở thành:

\[
y^2 + my + m = 0.
\]

Phương trình này là một phương trình bậc hai với biến \( y \). Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt \( x_1, x_2, x_3, x_4 \), yêu cầu cần thiết là phương trình bậc hai này phải có 2 nghiệm phân biệt, từ đó dẫn đến 4 nghiệm phân biệt cho \( x \) vì mỗi \( y \) có tương ứng 2 giá trị của \( x \) (đó là \( x = \sqrt{y} \) và \( x = -\sqrt{y} \)).

Tính chất của phương trình bậc hai cung cấp cho chúng ta điều kiện về delta (\( D \)):

\[
D = m^2 - 4m > 0.
\]

Giải điều này cho \( m \):

\[
m^2 - 4m > 0 \quad \Leftrightarrow \quad m(m - 4) > 0.
\]

Điều này dẫn tới hai khoảng giá trị cho \( m \):

1. \( m < 0 \)
2. \( m > 4 \)

Tiếp theo, khí phải thỏa mãn điều kiện \( x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4 = 30 \). Do đó, ta cần tính \( x^4 \) theo \( y \):

\[
x_i^4 = (x_i^2)^2 = y_i^2.
\]

Hence, \( x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + x_4^4 = y_1^2 + y_2^2 \).

Chúng ta sử dụng định nghĩa của tổng bình phương:

\[
y_1^2 + y_2^2 = (y_1 + y_2)^2 - 2y_1y_2.
\]

Tìm nghiệm của phương trình bậc hai \( y^2 + my + m = 0 \):

1. Công thức nghiệm:

\[
y_{1,2} = \frac{-m \pm \sqrt{D}}{2}.
\]

Tổng và tích của hai nghiệm \( y_1, y_2 \):

- Tổng: \( y_1 + y_2 = -\frac{m}{1} = -m \)
- Tích: \( y_1y_2 = \frac{m}{1} = m \)

Từ đó suy ra:

\[
y_1^2 + y_2^2 = (-m)^2 - 2m = m^2 - 2m.
\]

Thay vào phương trình, ta có:

\[
m^2 - 2m = 30 \quad \Rightarrow \quad m^2 - 2m - 30 = 0.
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
m = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 120}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{124}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{31}}{2} = 1 \pm \sqrt{31}.
\]

Ta có hai giá trị:

1. \( m = 1 + \sqrt{31} \)
2. \( m = 1 - \sqrt{31} \) (Nhưng bên trên đã cho rằng \( m < 0 \) này là vô nghĩa vì không thỏa mãn)

Xét giá trị \( m = 1 + \sqrt{31} \) thì:

- Xác thực xem \( m > 4 \):
\[
1 + \sqrt{31} > 4 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{31} > 3 \quad (Đúng, vì 31 > 9).
\]

Kết luận, giá trị \( m \) cần tìm là:

\[
\boxed{1 + \sqrt{31}}.
\]