Để tìm giá trị của \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \) sao cho biểu thức \( A \) và \( B \) đều là số nguyên, chúng ta sẽ xem xét từng biểu thức:

1. **Biểu thức A**:
\[
A = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 2}} \in \mathbb{Z}
\]

Để \( A \) là một số nguyên, điều kiện là \( \sqrt{x + 1} \) và \( \sqrt{x - 2} \) phải là số thức và có dạng:
\[
\sqrt{x + 1} = k \cdot \sqrt{x - 2} \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Bình phương cả hai vế:
\[
x + 1 = k^2 (x - 2)
\]
Giải phương trình này để tìm giá trị của \( x \).

2. **Biểu thức B**:
\[
B = \frac{2\sqrt{x} + 7}{\sqrt{x + 1}} \in \mathbb{Z}
\]

Ở đây, điều kiện để \( B \) là số nguyên cũng tương tự. Bạn cần phải biến đổi và thiết lập điều kiện cho \( B \) như sau:
\[
2\sqrt{x} + 7 = m \cdot \sqrt{x + 1} \quad (m \in \mathbb{Z})
\]
Bình phương cả hai vế và giải phương trình này.

### Các Bước Giải:

1. **Giải cho \( A \)**:
\[
x + 1 = k^2 (x - 2) \implies x + 1 = k^2 x - 2k^2
\]
\[
x - k^2 x = -2k^2 - 1 \implies x(1 - k^2) = -2k^2 - 1
\]
\[
x = \frac{-2k^2 - 1}{1 - k^2}
\]

Để \( x \) là nguyên, \( -2k^2 - 1 \) và \( 1 - k^2 \) cần phải là ước số của nhau.

2. **Giải cho \( B \)**:
\[
2\sqrt{x} + 7 = m\sqrt{x + 1}
\]
Bình phương:
\[
(2\sqrt{x} + 7)^2 = m^2(x + 1)
\]
Sau đó, giải và tìm giá trị của \( x \).

Cuối cùng, sau khi tìm các giá trị \( x \) thỏa mãn cả hai điều kiện, bạn có thể kiểm tra bằng cách thay lại vào các biểu thức A và B để chắc chắn chúng là số nguyên.

Bạn có thể thực hiện các bước này để tìm ra giá trị cụ thể cho \( x \).