Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần.

### a) Chứng minh tam giác HAB = tam giác HAD

Ta có:

- Tam giác ABC vuông tại A, nghĩa là ∠CAB = 90°.
- Kẻ AH vuông góc với BC, do đó ∠AHB = 90°.
- Theo giả thiết, HB = HD.

Xét hai tam giác HAB và HAD. Ta sẽ chứng minh rằng hai tam giác này bằng nhau bằng cách xét các cạnh và góc:

1. **Cạnh AH chung**: AH là cạnh chung của hai tam giác HAB và HAD.
2. **Cạnh HB = HD**: Theo giả thiết, HB = HD.
3. **Góc ∠AHB = ∠AHD**: Vì hai góc này đều bằng 90° (AH vuông góc với BC).

Do đó, theo tiêu chuẩn tam giác (cạnh - cạnh - góc), ta có:

\[
\triangle HAB \cong \triangle HAD
\]

### b) Chứng minh rằng AK vuông góc với AC

Ta đã có điểm E trên tia đối của HA sao cho HE = HA và tia AD cắt EC tại K. Giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng AK vuông góc với AC.

Trong tam giác AED vừa được tạo thành:

- AE = AH (bởi vì HE = HA).
- AH vuông góc với BC (từ giả thiết).
- ∠AHB = ∠AHD = 90° như đã chứng minh ở phần (a).

Xét hình vuông AHED:

- Các cạnh AH, HE, HD, và AE đều bằng nhau.
- Góc ∠AED = ∠AHE = 90°.

Vì vậy, khi tia AD cắt EC tại K, chúng ta có thể xác định mối quan hệ góc giữa các đoạn thẳng.

Vì AH vuông góc với BC và AE vuông góc với AH, suy ra:

\[
\angle AKC = 90°
\]

Vậy, AK vuông góc với AC.

Tóm lại, ta đã chứng minh cả hai yêu cầu của bài toán:

- a) Tam giác HAB = tam giác HAD.
- b) AK vuông góc với AC.