Cho x; y là các số nguyên dương y > 1 thỏa mãn 2x^2 -1 = y^15; chứng minh y chia hết cho 15

Để chứng minh rằng \( y \) chia hết cho \( 15 \) với điều kiện \( 2x^2 - 1 = y^{15} \) và \( y > 1 \), ta có thể phân tích phương trình này qua các modulo khác nhau.

1. **Xét modulo 3:**

Ta có \( 2x^2 - 1 \equiv 0 \pmod{3} \) khi \( y^{15} \equiv 0 \pmod{3} \) tức là \( y \equiv 0 \pmod{3} \).

Xét các khả năng của \( x \) modulo 3:
- Nếu \( x \equiv 0 \pmod{3} \), thì \( 2x^2 \equiv 0 \), và \( 2x^2 - 1 \equiv -1 \pmod{3} \) (không thỏa mãn).
- Nếu \( x \equiv 1 \pmod{3} \), thì \( x^2 \equiv 1 \) và \( 2x^2 - 1 \equiv 1 \pmod{3} \) (không thỏa mãn).
- Nếu \( x \equiv 2 \pmod{3} \), thì \( x^2 \equiv 1 \) và \( 2x^2 - 1 \equiv 1 \pmod{3} \) (cũng không thỏa mãn).

Do đó, để \( 2x^2 - 1 \equiv 0 \pmod{3} \), \( y \) phải chia hết cho 3.

2. **Xét modulo 5:**

Tương tự, ta có \( 2x^2 - 1 \equiv 0 \pmod{5} \).
- Nếu \( x \equiv 0 \pmod{5} \), thì \( 2x^2 - 1 \equiv -1 \pmod{5} \) (không thỏa mãn).
- Nếu \( x \equiv 1 \pmod{5} \), thì \( 2x^2 - 1 \equiv 1 \pmod{5} \) (không thỏa mãn).
- Nếu \( x \equiv 2 \pmod{5} \), thì \( 2x^2 - 1 \equiv 3 \pmod{5} \) (không thỏa mãn).
- Nếu \( x \equiv 3 \pmod{5} \), thì \( 2x^2 - 1 \equiv 3 \pmod{5} \) (không thỏa mãn).
- Nếu \( x \equiv 4 \pmod{5} \), thì \( 2x^2 - 1 \equiv 1 \pmod{5} \) (không thỏa mãn).

Thêm vào đó, ta cần để \( 2x^2 - 1 \equiv 0 \pmod{5} \), \( y \) cũng phải chia hết cho 5.

3. **Kết luận:**

Từ hai kết quả trên, ta có \( y \) chia hết cho \( 3 \) và chia hết cho \( 5 \). Vậy \( y \) phải chia hết cho \( 15 \) (vì \( 15 = 3 \times 5 \)).

Như vậy, với điều kiện đã cho, ta có thể khẳng định rằng \( y \) chia hết cho \( 15 \).