Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB=3; AC= 4. Tính BC; AH

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo đúng trình tự:

### a) Tính BC và AH

Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \), với các cạnh \( AB \) và \( AC \) là hai cạnh góc vuông và \( BC \) là cạnh huyền.

Ta có:
- \( AB = 3 \)
- \( AC = 4 \)

Theo định lý Pythagoras, ta có:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Thay số vào:
\[
BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
\]
\[
BC = \sqrt{25} = 5
\]

Để tính đường cao \( AH \), ta sử dụng công thức:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]

Thay số vào:
\[
AH = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4
\]

### Kết quả:
- \( BC = 5 \)
- \( AH = 2.4 \)

---

### b) Xác định điểm M trên BC sao cho DE nhỏ nhất

Giả sử \( M \) là một điểm trên \( BC \). Khi đó, ta có thể gọi \( D \) và \( E \) lần lượt là hình chiếu của \( M \) lên \( AB \) và \( AC \). Để DE nhỏ nhất, chúng ta có thể nhận thấy rằng các hình chiếu D và E phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên BC.

Để tìm điểm M sao cho DE nhỏ nhất, ta sẽ sử dụng nguyên lý phản xạ:
1. Phản xạ điểm \( A \) qua đường thẳng \( BC \) sẽ cho một điểm \( A' \) nằm trên mặt phẳng.
2. Điểm M phải nằm trên đoạn thẳng \( A'D \).

Từ đó, ta có thể kết luận rằng DE nhỏ nhất khi điểm M nằm trực tiếp dưới điểm A' trên đường thẳng BC.

### c) Chứng minh \( \Delta DHE \) vuông

Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \), vì \( D \) và \( E \) là hình chiếu của M lên hai cạnh AB và AC. Do đó, các đoạn \( AD \) và \( AE \) vuông góc với nhau.

Vì \( AH \) là đường cao của tam giác vuông \( ABC \), và \( AH \) sẽ cắt \( BC \) tại một điểm gọi là H. Do đó, tam giác \( \Delta DHE \) cũng sẽ vuông tại H.

### Kết luận:
- \( \Delta DHE \) là tam giác vuông tại H.

Tóm lại:
- Kết quả phần a: \( BC = 5 \), \( AH = 2.4 \).
- Để DE nhỏ nhất, điểm M là hình chiếu của A lên BC.
- \( \Delta DHE \) vuông tại H.